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記事No.22736に関するスレッドです
★ 数学?V微分 / みかん
別のサイトでお世話になりました、みかんです。質問しても
大丈夫でしょうか？マルチポストではないです。

二問ほどご教授お願いします。

(1)y=tanX/(1+tanX)

(2)y=√(2sin5/2*XcosX/2)

(2)は文字にすると分からないと思うので画像を載せます。
答えは(1)1/(cosX+sinX)^2
(2)3cos3X+2cos2X/2√(sin3X+sin2X)

最初から公式なのか簡単にしてからなのかまったくわかりません。周りの友達もわからないと言ってました。
ご教授お願いします。
No.22736 - 2013/10/14(Mon) 02:56:02
☆ (1) / angel
関係式を一通り挙げて丁寧に処理すればいけます。

取り敢えず
　cosx・tanx=sinx
　(tanx)'=1/(cosx)^2
　※同様に (1+tanx)'=1/(cosx)^2
　(f/g)'=(f'g-fg')/g^2　※商の微分
これだけ使います。

では、y=tanx/(1+tanx) に対して

　y'
　=( (1+tanx)・(tanx)' - tanx・(1+tanx)' )/(1+tanx)^2
　=( (1+tanx)/(cosx)^2 - tanx/(cosx)^2 )/(1+tanx)^2
　=( (1+tanx)-tanx )/( (cosx)^2・(1+tanx)^2 )
　=1/( cosx・(1+tanx) )^2
　=1/(cosx+cosx・tanx)^2
　=1/(cosx+sinx)^2

という感じで。( 実際の解答ではここまでゴテゴテ書く必要はないので、適宜間引いてください )
No.22739 - 2013/10/14(Mon) 09:14:26
☆ Re: 数学?V微分 / X
(2)
√の中を積和の公式を使って変形すると
y=√(sin3x+sin2x)
後は合成関数の微分を使います。
f(x)=sin3x+sin2x
と置くと
y'=f'(x)/{2√f(x)}
=(3cos3x+2cos2x)/{2√(sin3x+sin2x)}

注)もちろん積和の公式を微分する前に使わず
f(x)=2sin(5x/2)cos(x/2)
と置いて合成関数の微分を使っても解答としては
問題ありません。
但し、f'(x)の計算には積の微分を使います。
(模範解答とは見かけは異なりますが、微分後に
積和の公式や加法定理を適用すれば同じ式になります。)
No.22741 - 2013/10/14(Mon) 09:22:18
☆ Re: 数学?V微分 / みかん
angelさん、Xさん、分かりやすく説明して頂きありがとうございます。すごく分かりやすかったです。
No.22743 - 2013/10/14(Mon) 14:07:58