[ 掲示板に戻る ]
記事No.22742に関するスレッドです
★ 数２Ｂ / まさみん
数２Ｂの問題なんですが
全くわかりません。
しかも、当てられてしまって解説をみんなの前で
しなければならないのでもしよければ、解説つきで
この問題を解いていただけませんか？


点Ｏを中心とする半径４の扇形OABがあり
中心角∠AOBは鋭角でcos∠AOB＝3/5
をみたしてい る。

右の図のように、孤AB上に点Ｐをとり
点Ｐを通り線分ＯＡに平行な直線と線分ＯＢとの
交点をＱとする。また、点Ｐ、Ｑから線分ABに引いた直線と線分ＯＡとの交点をそれぞれR、Ｓとする。

∠ＡＯＰ＝θとおくと


PS＝ア sinθ、RS＝イ cosθ-ウ sinθ
であるから、四角形PQRSの周の長さをＬとすると

Ｌ＝エ sinθ ＋オ cosθ
＝カ√キクsin(θ＋α)

となる。ただし、αは０＜α＜π/2でtanα＝ケ
を満たす角である。

よってＬが最大になる時のθの値をφとおくと
tanφ＝コ/サ
cos２φ＝シス/セソである。


答えは
アが4
イが4
ウが3
エが2
オが8
カが2
キクが17
ケが4
コが1
サが4
シスが15
セソが17

です！
No.22742 - 2013/10/14(Mon) 11:06:49
☆ Re: 数２Ｂ / X
△OPSに注目して
PS=OPsin∠POS=4sinθ (A)
OS=OPcos∠POS=4cosθ (B)
∴条件により
QR=PS=4sinθ (C)
ですので△OQRに注目して
OR=QR/tan∠QOR=(4sinθ)/tan∠AOB (D)
ここで
cos∠AOB=3/5 (E)
で∠AOBは鋭角ですので
1+(tan∠AOB)^2=1/(cos∠AOB)^2
により
tan∠AOB=√{1/(cos∠AOB)^2-1}=4/3 (F)
(D)(F)より
OR=3sinθ (G)
(A)(G)より
RS=OS-OR=4cosθ-3sinθ (H)
(A)(H)より
L=2(PS+RS)=2sinθ+8cosθ (I)
∴三角関数の合成により
L=(2√17)sin(θ+α) (J)
但しαは
0＜α＜π/2,tanα=4/2=4 (K)
なる角です。
(F)(K)と加法定理により
tan(∠AOB+α)=(tan∠AOB+tanα)/(1-tan∠AOBtanα)
=(4/3+4)/{1-(4/3)・4}＜0 (L)
ここで∠AOBが鋭角であることと(K)により少なくとも
0＜∠AOB+α＜π
ですので(L)により
π/2＜∠AOB+α＜π (M)
(M)と
0≦θ+α≦∠AOB+α
によりLは
θ+α=π/2
のときに最大になります。
よって
φ+α=π/2
ですので
φ=π/2-α (N)
よって
tanφ=tan(π/2-α)=1/tanα (O)
cos2φ=cos(π-2α)=-cos2α
=1-2(cosα)^2
=1-2/{1+(tanα)^2} (P)
(O),(P)に(K)を代入して
tanφ=1/4
cos2φ=15/17
となります。
No.22746 - 2013/10/14(Mon) 17:19:29