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記事No.22891に関するスレッドです
★ 図形問題 / かねこ
はじめまして、よろしくお願いします
塾の先生にもらった問題なんですが難しくて解けません…
難しい回答でもいいので教えてください。

ABCDは長方形で面積は24cm^2
点EはBCの中点、∠BDFは90°でDE=DF
△DEFの面積は18cm^2
このとき△CEFの面積はいくつか
No.22891 - 2013/10/25(Fri) 02:29:33
☆ Re: 図形問題 / らすかる
BE=CE=a, CD=b とすると 2ab=24 なので ab=12
DF=DE=√(CE^2+CD^2)=√(a^2+b^2)
BD=√(BC^2+CD^2)=√(4a^2+b^2)
△DBE=(1/4)□ABCD=6
EからBDに垂線EHを下ろすと
EH=6×2÷BD=12/√(4a^2+b^2)
DH=√(DE^2-EH^2)=√{a^2+b^2-144/(4a^2+b^2)}
△DEF=△DHF=DF×DH÷2=√(a^2+b^2)・√{a^2+b^2-144/(4a^2+b^2)}/2=18
b=12/aを代入してbを消去し、整理すると
a^12-1008a^8-20736a^4+746496=0
この方程式は正の実数解を2個持つが、図に適する解は
a={48(7-(4√13)sin(arcsin(2969√13/10816)/3))}^(1/4)
=2.08565056338772024616…
FからCDに垂線FMを下ろすと
△FDM∽△DBC なので
DM=(BC/BD)DF=(2a)√(a^2+b^2)/√(4a^2+b^2)
CM=CD-DM=b-(2a)√(a^2+b^2)/√(4a^2+b^2)
△CEF=CE×CM÷2=a{b/2-a√(a^2+b^2)/√(4a^2+b^2)}
=a{6/a-a√(a^2+(12/a)^2)/√(4a^2+(12/a)^2)}
={12(a^4+36)-a^2√{(a^4+144)(a^4+36)}}/{2(a^4+36)}
これに上記のaの式を代入したものが答えです。
近似値は
△CEF=2.25398173987111266963…

整理したら
△CEF=6-(4√30)sin(arcsin(9√30/100)/3)
となりました。
No.22892 - 2013/10/25(Fri) 06:02:06
☆ Re: 図形問題 / ab
http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/003/138269444395614479225.gif

　　　　　　　　　となりました。
No.22896 - 2013/10/25(Fri) 18:51:09
☆ Re: 図形問題 / らすかる
> abさん
その図は問題の条件と合っていないと思います。
∠EDF=90°ではなく、∠BDF=90°です。
No.22898 - 2013/10/25(Fri) 22:14:05
☆ Re: 図形問題 / ab
> > abさん
> その図は問題の条件と合っていないと思います。
> ∠EDF=90°ではなく、∠BDF=90°です。

失礼しました。
読み間違えておりました。
No.22900 - 2013/10/25(Fri) 22:53:03
☆ Re: 図形問題 / ab
>塾の先生にもらった問題

なら　解答を　入手可の筈です


(問題がその通りの)


解答を入手し　ここに　是非　提示願います。
No.22904 - 2013/10/26(Sat) 00:39:30
☆ Re: 図形問題 / かねこ
たくさんの解答ありがとうございました。
三角関数は分かるのですが、逆三角関数(？)はちょっと難しすぎました；；

おととい塾で質問してみたら、とても申し訳ないのですが、問題を映し間違えてきていたみたいで、∠EDF=90°だったみたいです。
そうしたら2次方程式を解くだけになって解けました…
その場合の答は3√5-3になります。先生も正解と言っていました。

∠BDF=90°の場合の式を聞いてみたら、1日かかると言われ、昨日答えを教えてもらいました。
---------------------
答ですが
x^3-1008x^2-20736x+746496=0の一つの正の解をtとしたとき
{ 12(t+36)-√[t(t+36)(t+144)] }/{2(t+36)}
になります。
------------------
とのことでした。
No.22924 - 2013/10/28(Mon) 01:29:29
☆ Re: 図形問題 / らすかる
私が上で書いた
> a^12-1008a^8-20736a^4+746496=0 の解を
> △CEF={12(a^4+36)-a^2√{(a^4+144)(a^4+36)}}/{2(a^4+36)}
> 代入したものが答え
と同じですね。
しかしこれはもっと整理できます。
△CEFは、方程式 x^3-18x^2-252x+648=0 の、2と3の間にある解です。
この答えを、電卓などで計算できる式の形で解いたものが
x=6-(4√30)sin(arcsin(9√30/100)/3)
となります。
（この値は、有理数と四則演算と累乗根では多分書けません。）

塾や学校でこんな問題を出すとは考えられませんので、
出題ミスか問題の写し間違いのどちらかだろう、とは思っていました。
No.22925 - 2013/10/28(Mon) 02:05:52
☆ Re: 図形問題 / ab

> おととい塾で質問してみたら、とても申し訳ないのです...
>
> ∠BDF=90°の場合の式を聞いてみたら、1日かかると言われ、昨日答えを教えてもらいました。
> ---------------------
> 答ですが
> x^3-1008x^2-20736x+746496=0の一つの正の解をtとしたとき
> { 12(t+36)-√[t(t+36)(t+144)] }/{2(t+36)}
> になります。
> ------------------
> とのことでした。

●　今となっては　代数的数　が　出現する　ので　ミス　の　方が　ステキ!!!!!


　a^12-1008 a^8-20736 a^4+746496=0 を　解けば　長さ　a が獲られる。

b^12-576 b^8-580608 b^4+11943936=0 を　解けば　長さ　b が獲られる。

S^3-18 S^2-252 S+648=0 を　解けば　面積 S が獲られる

と　「塾先生に提示し」　解いて下さい　と　お願いして

その顛末を　報告願います。

No.22926 - 2013/10/28(Mon) 12:02:14