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記事No.23086に関するスレッドです
★ (No Subject) / みなみ
重心Gはどうして中線BOを2:1に内分するんでしょうか？
よろしくお願いします
No.23084 - 2013/11/10(Sun) 15:35:52
☆ Re: / らすかる
「重心は中線の交点」というのは大丈夫でしょうか。
直線AGと直線BCの交点をP、Pを通りBOに平行な直線と直線ACの交点をQとすると
△CQP∽△COB, CP：CB=1：2 から BO=2PQ, CQ：QO=1：1
よってCQ：QO：OA=1：1：2となり、QA：OA=3：2なのでPQ：GO=3：2
つまりGO=(2/3)PQ=(2/3)(BO/2)=(1/3)BO
従ってGはBOを2：1に内分する点。

これをいちいち考えていたら大変です。
「重心は中線を2：1に内分する」は暗記しましょう。
No.23085 - 2013/11/10(Sun) 16:43:36
☆ 重心の位置 / angel
幾何としての証明ということであれば、メネラウスの定理に数値をあてはめてみてください。
参考:
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%83%8D%E3%83%A9%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

もしくは、三角形に限らない一般的な重心のお話でいくなら、積分を使うことで計算することもできますが…
以下では、感覚的なお話をしてみます。
※あまり正確なリクツではないのですが

添付の図左端のように、棒の両端に重さ1,2のモノをつけている場合。重心は棒を2:1に内分する点になります。
※理科(物理)のテコの原理を思い出してください

では、重さ2のモノを半分に分けて少しずつ引き離していくとどうなるか?
図中縦方向の比率2:1というのはそのまま変わらずで、2→1+1と均等に分かれるため、横方向で言えば丁度中間点に重心が来ると推測できます。
ということで、「中線を2:1に内分する点」となるわけです。
No.23086 - 2013/11/10(Sun) 16:47:40
☆ Re: / みなみ
すごいわかりやすい説明ありがとうございました！
No.23116 - 2013/11/12(Tue) 18:48:33