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記事No.2320に関するスレッドです
★ 漸化式 / ケン
以下の問題宜しく解決下さい。再掲します。
１．平面上にどの２本も平行でなく、どの３本も一点で交わらないn本の直線がある。これらの直線が平面をa＿n個の部分に分けているとする。
１．１ a_1,a_2,a_3,a_４を求めよ
１．２ a_nの漸化式を求めよ
１．３ a_nを求めよ

２．N枚の平面に沿って３次空間は最大いくつの部分に分割されるか。１．３の結果を用いて解決できる。解決の際どのように用いるかアイデアを明確に述べること

１．はできたのですが２．についてご指導下さい。
１．の答え
1.1 a_1 : 2, a_2 : 4, a_3 : 7 ,　a_4 :11
1.2 a_n+1=a_n +n+1 (n=1,2,3,・・・)
1.3 a_n=(n^2+n+2)/2 だと思いです。
No.2320 - 2008/08/26(Tue) 11:15:46
☆ Re: 斬鉄剣 / ヨッシー
1.3 までは、あちらに書いたので、２． について考えます。

N枚の平面によって３次空間は最大、b_N の部分に分割されるとします。
b_1＝２，b_2＝４，b_3＝８ です。
今、N枚の平面によって、b_N の部分に分かれているとき、
N+1枚目の平面を置いたとします。
この平面上には、他のN枚の平面との交線がN本引かれ、
これによって、この平面は、(N^2+N+2)/2 の部分に分けられています。
それぞれの部分によって、平面がN枚だったときの部分空間は
(N^2+N+2)/2 個が２つずつに分けられ、結果、
(N^2+N+2)/2 個の部分空間が、増えます。
よって、
　b_(N+1)＝b_N＋(N^2+N+2)/2
という漸化式が出来、これより
　b_N＝(N^3＋5N＋6)/6
を得ます。
No.2321 - 2008/08/26(Tue) 11:37:44
☆ Re: 漸化式 / ケン
早速の対応ありがとうございました。
考え方がよく理解できました。また
ｂ_Ｎの値は確かに(N^3＋5N＋6)/6
となりました。
またよろしくお願いいたします。
No.2322 - 2008/08/26(Tue) 12:15:22
☆ Re: 漸化式 / 通りすがり
ヨッシーさんのタイトルがRe: 斬鉄剣となっているのは何か意味があるのですか？
No.2337 - 2008/08/27(Wed) 12:06:41
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー
あ、気付かれましたか？

漸と斬が字が似ていることと、
算チャレ過去問の第90回の問題（斬鉄剣の問題）と
同じ主旨の問題だということで、遊んでみました。
No.2358 - 2008/08/27(Wed) 20:40:54