[
掲示板に戻る
]
記事No.2338に関するスレッドです
★
数列
/ kai(高3)
引用
こんにちは
よく分からないので、教えてください。
No.2338 - 2008/08/27(Wed) 13:51:34
☆
Re: 数列
/ rtz
引用
具体的にどこが分からないのでしょうか。
考えた経緯など書いていただけると分かりやすいのですが。
No.2349 - 2008/08/27(Wed) 17:32:35
☆
一部分回答します。
/ 白梅
引用
初めて回答させていただきます。
白梅と申します。
これは大阪大学の過去問ですね。
私も１度だけ解きましたが、数列問題の中でも
最高峰の難しさだと思います。
全ての解答を書くと大変な長さに
なりますし、kaiさんの力にならないと思うので
（１）だけ回答し、（２）（３）は
ヒントと解のみ書いておこうと思います。
（解答）Ｄ内にあり、ｙ軸上に中心をもち、
原点を通る円の方程式を、
x^2＋（ｙ−ｒ）^2＝r^2 （r＞０）
とおくと、x^2＝２ｒｙ−ｙ^2
これが領域ｙ≧x^2の内部にある為には
ｙ≧２ry−y^2 すなわち、
y{y−（２ｒ−１）}≧０がｙ≧０で
つねに成り立てば良い。
よって、２ｒ−１≦０よりｒ≦（１／２）
ａ(1)は最大のｒの値だからａ（１）＝（１／２）
（２）の解 ａn＝（１／２）＋√（２(bn-1)）
（３）の解 ａn＝ｎ−（１／２） です。
（２）はＣnは放物線y＝x^2に接するので
重解を利用します。
（３）は判別式Ｄ＝０の式より条件を利用すれば
出来ると思います。
長文失礼しました。
No.2350 - 2008/08/27(Wed) 17:32:45
☆
Re: 数列
/ kai(高3)
引用
rtzさん白梅さん返信ありがとうございます。
白梅さんの解答で(1)は分かりました。
(2)はＣn:x^2+(y-2(bn-1)-an)^2=an^2とy=x^2より
2(bn-1)-an=Aとおくと
y^2-(2A-1)y+A^2-an^2=0
重解よりan=(bn-1)-1/8
と出てきて
分かりません。
(2),(3)のヒントをもう少し詳しくお願いします。
No.2352 - 2008/08/27(Wed) 17:58:36
☆
Re: 数列
/ rtz
引用
数列ならa[n]やa_nなど、
添え字であることが分かるようにしていただけますか？
そのままではa*nと間違えてしまいますので。
(2)
x
2
＋{y−2b
n-1
−a
n
}
2
＝a
n
2
ですから、
Aとおくなら2b
n-1
＋a
n
ではないでしょうか。
(3)
a
n
＝(1/2)＋√(2b
n-1
)から
a
n+1
＝(1/2)＋√(2b
n
)
よって
{a
n+1
−(1/2)}
2
＝2b
n
＝2b
n-1
＋2a
n
＝{a
n
−(1/2)}
2
＋2a
n
＝{a
n
＋(1/2)}
2
⇔a
n+1
−(1/2)＝a
n
＋(1/2) (明らかにa
n
≧1/2)
以下略
No.2354 - 2008/08/27(Wed) 18:49:04
☆
ではもう少しだけヒントを
/ 白梅
引用
ふむふむ。なるほど。
kaiさんの解答の５行目までは正しいです。
６行目の重解より〜が間違えています。
どこかで計算ミスをしたのだと思われます。
落ち着いてもう１度計算してみて下さい。
上手くいけば（２ａ_n−１）^2＝８b_n-1
といった式が得られると思います。
そこからがこの問題のミソですね。
ｎ≧２のときａ_n＞ａ_1＝（１／２）だから
２ａ_n−１＞０、またb_n-1＞０だから‥‥
ここまでくれば解答を得られると思います。
No.2357 - 2008/08/27(Wed) 19:04:43
☆
Re: 数列
/ kai(高3)
引用
rtzさん白梅さん返信有り難うございます。
数列の表記の仕方が分からず、見づらくなってしまいすいません。
次からはa[n]やa_nのように表記します。
rtzさん白梅さんの仰るとおり、単純なミスです。
ここまで書いていただいたので、分かりました。
乱雑な文章、数式でめちゃくちゃだったと思いますが、丁寧な解説、ヒントありがとうございます。
No.2359 - 2008/08/27(Wed) 21:06:52
☆
最後に
/ 白梅
引用
ご理解していただけたようで良かったです。
（２）については部分的にしか書いていなかったので
確認のため、全てここに書いておきますね。
ｎ≧２のときａ_n＞ａ_1＝（１／２）だから
２ａ_n−１＞０、またb_(n-1)＞０だから
２ａ_n−１＝２*√(２b_(n-1))より
ａn＝（１／２）＋√（２(b_(n-1)）
それと（３）についてですが、
完答できましたでしょうか？
rtzさんの示された解法で答えを出せたのなら
それで良いのですが、ヒントも出したので
そのヒントを使った別解を示しておきますね。
（解答）（２）のＤ＝０の式から
４ａ_n^2−４ａ_n＋１−８b_(n-1)＝０‥‥（ア）
これより
４ａ_(n＋1)^2−４ａ_(n＋1)＋１−８b_n＝０‥‥（イ）
（ア）−（イ）より
４（ａ_(n＋1)^2−ａ_n^2）−
４（ａ(n＋1)−ａ_n）−８ａ_n＝０ ⇔
（ａ_(n＋1)＋ａ_n）*（ａ_(n＋1)−ａ_n−１）＝０
よってａ_(n＋1)＋ａ_n＞０より
ａ_(n＋1)−ａ_n−１＝０
よってａ_(n＋1)＝ａ_n＋１（n≧２）
またb_1＝ａ_1＝１／２だから
ａ_2＝（１／２）＋１＝ａ_1＋１
となり、ｎ≧１でａ_(n＋1)＝ａ_n＋１
数列{ａn}は初項ａ_1＝１／２ 公差１の等差数列より、
ａ_n＝ｎ−（１／２）
以上が別解となります。
私もこの掲示板で質問する者なので、
そう何度も回答者にはなれませんが、
この質問に関しては理解しているつもりなので、
何か疑問に感じる所があれば、
また質問して下さいね＾＾
追伸:rtz様、回答者として
横からレスを入れて大変申し訳ありませんでした。
確かにrtz様の仰る通り、
質問者がどこが理解できていないかを把握してから
少しずつアドバイスするのが理想だと思います。
さらに数列の表記についてもですが
以後よくよく気を付けます。
質問者としてまた書き込むと思います。
その時は宜しくお願い致します。＾＾
No.2362 - 2008/08/27(Wed) 23:07:15
☆
Re: 数列
/ rtz
引用
いえ、実際問題どの程度までヒントとして出すのか、
導入に留めるのか、ある程度踏み込むのかというのはいつも悩みどころで、
流れを暈してヒントを出しても抽象的過ぎてしまう場合もありますし、
なんとも難しい部分です。
本問の場合は(1)もそれなりの難度です。
ある程度半径が大きくなると
原点で接せないことを分かっていないと解けないので
一応お聞きした、という感じです。
私はヒントでも完全解答でも、
受け取って消化するのは質問された方次第なので、
どちらでもいいと思っていますし、
私自身よく間違うので、気にせずレスして下さいませ。
こちらこそよろしくお願いします。
No.2363 - 2008/08/27(Wed) 23:34:02
