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記事No.23548に関するスレッドです
★
(No Subject)
/ yu-zi
引用
nを3以上の整数とする
Oを原点とする平面上に2n+１個の点Ｐ0，P1，P2,…,P2n−1,P2nがあり、
OP0=1
∠Pk−1OPk＝π/n ∠OPk−1Pk＝π/4 (k＝1,2,…,2n) を満たしている
(１)OP2n=(1+sin(２n/π))＾n であることを証明せよ
(２)lim[n→∞]OP２nを求めよ
みにくくてすいません
よろしくお願いします
No.23540 - 2013/12/16(Mon) 23:12:04
☆
Re:
/ ＩＴ
引用
> (１)OP2n=(1+sin(２n/π))＾n であることを証明せよ
私の勘違いかも知れませんが
OP[2n]=1/(1+sin(２π/n))＾n ではないですか？
あるいは ∠OP[k-1]Pk＝π/4 ではなく∠P[k-1]PkO＝π/4でしょうか？
No.23543 - 2013/12/17(Tue) 00:32:41
☆
Re:
/ yu-zi
引用
すいません
∠P[k-1]PkO＝π/4
でした
No.23544 - 2013/12/17(Tue) 07:40:40
☆
Re:
/ X
引用
(1)
△OP[k-1]P[k]において正弦定理により
OP[k]/sin(3π/4-π/n)=OP[k-1]/sin(π/4)
これより
OP[k]={(√2)sin(3π/4-π/n)}OP[k-1] (A)
{}内がkによらない定数であることに注意すると
漸化式(A)とOP[0]=1から
OP[k]={(√2)sin(3π/4-π/n)}^k
∴OP[2n]={(√2)sin(3π/4-π/n)}^(2n)
={2{sin(3π/4-π/n)}^2}^n
={1-cos(3π/2-2π/n)}^n
={1+sin(2π/n)}^n
(2)
(1)の結果により
lim[n→∞]OP[2n]=lim[n→∞][{1+sin(2π/n)}^{1/sin(2π/n)}]^{2π{sin(2π/n)}/(2π/n)}
=e^(2π)
((∵)eの定義とlim[x→0](sinx)/x=1)
No.23545 - 2013/12/17(Tue) 08:40:30
☆
Re:
/ ＩＴ
引用
(1)の別解
P[k-1]からOP[k]へ垂線P[k-1]Hを下ろすと、∠P[k-1]PkH＝π/4より△P[k-1]PkHは直角二等辺三角形となるので
OP[k]={cos(π/n)+sin(π/n)}OP[k-1] （下図参照）
よって
OP[2n]=[{cos(π/n)+sin(π/n)}^2n]OP[0] （厳密には数学的帰納法）
OP[0]=1より
=[{cos(π/n)+sin(π/n)}^2]^n
展開し三角関数の基本関係により
=[1+2{cos(π/n)sin(π/n)}]^n
倍角公式より
=[1+sin(2π/n)]^n
No.23548 - 2013/12/17(Tue) 18:32:01
