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記事No.23921に関するスレッドです
★ 空間図形です / O脚


下の図のような一辺の長さが1の立方体がある。点Aを頂点とし、△HFGを底面とする三角錐Xと、点Cを頂点とし、△HEFを底面とする三角錐Yを考え、2つの三角錐の共通部分をVとする。 辺AE上に点Pをとり、点Ｐを通り、底面EFGHに平行な平面でVを切ったときの断面積をSとする。このとき、次の問いに答えなさい。
(1)EP＝1/3のとき、Sを求めなさい。
(2)S＝1/5のとき、EPの長さを求めなさい。
という問題です。
頭の中で想像するのが苦手です…
答えは(1)S=1/9 (2)EP=1/5
です 解説をよろしくお願いします。画像汚くてすみません。

No.23921 - 2014/01/23(Thu) 20:36:35
☆ Re: 空間図形です / ヨッシー
断面だけの問題なので、全体の概形が完全にイメージできなくても
何とかなりそうです。

(1)Ｘ、Ｙのそれぞれの断面(ＥＦＧＨに平行な面での)は、
直角二等辺三角形です。
ＥＰ＝1/3 のときは、図のような断面になります。
これはちょうど、辺ＥＣが、面ＡＨＦと交わる高さでもあるのですが、
求める面積は、図より 1/3 × 1/3 ＝ 1/9 です。


(2)
ＥＰが1/3 より小さいか大きいかによって、断面の形状が異なります。

ＥＰをｘとすると、断面上では図の位置にｘが現れます。
1) ＥＰ＜1/3 のとき(図の左)
１辺１−2x の正方形から、１辺１−3x の正方形（実は直角二等辺三角形２つ）を
引いたのが、断面積で、
　Ｓ＝(1-2x)^2−(1-3x)^2＝(2-5x)x＝1/5
これを 0≦ｘ≦1/3 で解いて、
　ｘ＝1/5
2) ＥＰ＞1/3 のとき(図の右)
１辺 1-2xの正方形なので、断面積は
　Ｓ＝(1-2x)^2＝1/5
これを 1/3≦ｘ≦1/2 で解いて
　ｘ＝(5−√5)/10　これも答えです！！
No.23927 - 2014/01/23(Thu) 21:37:42
☆ Re: 空間図形です / O脚
図まで作成していただき、ありがとうございました。
とてもわかりやすかったです。
またよろしくお願いします。
No.23931 - 2014/01/23(Thu) 22:16:08
☆ Re: 空間図形です / ヨッシー
すみません。

2) ＥＰ＞1/3 のとき(図の右)
以降は誤りです。
ｘ＝(5−√5)/10　は、1/3 より小さいので不適です。

そもそも ＥＰ＝1/3 のときすでにＳ＝1/9 なので、
断面が正方形でＳ＝1/5 はあり得ませんでした。

お詫びついでに概系図を。

No.23935 - 2014/01/23(Thu) 23:15:07
☆ Re: 空間図形です / O脚
おぉ！ありがとうございます！
No.23955 - 2014/01/24(Fri) 18:35:40