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記事No.24207に関するスレッドです
★ 数?VC 積分 面積 / 福田 雄生
画像の(2)番からわからないのでよろしくおねがいします

xyz空間内で立体Ａ: x^2/3+y^2/3+z^2/3≦1について考える

(2)xy平面上の曲線x^2/3+y^2/3=a^2/3(a>0)は媒介変数t(0≦t≦2π)を用いて、x=acost^3,y=asint^3と表すことができる。この曲線で囲まれた部分の面積が3/8πa^2であることを示せ

(3)立体Ａの体積を求めよ。
No.24207 - 2014/02/06(Thu) 21:19:34
☆ Re: 数?VC 積分 面積 / ヨッシー
(2)
x=acos^3(t),y=asin^3(t) において、
acos^3(-t)＝acos^3(t), asin^3(-t)＝-asin^3(t)
より、この図形はｘ軸対称
acos^3(π/2-t)＝-acos^3(π/2+t), asin^3(π/2-t)＝asin^3(π/2+t)
より、この図形はｙ軸対称
よって、第１象限の面積を求めて４倍します。
求める面積をＳとすると、
　S/4＝∫[0〜a]ｙdx
ｙ＝asin^3(t), ｘ＝acos^3(t), dx/dt＝-3acos^2(t)sin(t)
　0≦ｘ≦a　→　π/2≧ｔ≧0
より
　S/4＝3a^2∫[0〜π/2]sin^4(t)cos^2(t)dt　　　※積分区間を逆にする代わりにマイナスを取っています
ここで
　sin^4(t)cos^2(t)＝sin^2(t)(sin(t)cos(t))^2
　　＝{(1-cos(2t))/2}sin^2(2t)/4
　　＝(1/8)(sin^2(2t)−cos(2t)sin^2(2t))
　　＝(1-sin(4t))/16−sin^2(2t)cos(2t)/8
よって
　S/4＝3a^2{∫[0〜π/2](1-sin(4t))dt/16−∫[0〜π/2]sin^2(2t)cos(2t)dt/8}
　S/12a^2＝(1/16)[t＋cos(4t)/4][0〜π/2]−(1/48)[sin^3(2t)][0〜π/2]
　　＝(1/16)(π/2＋1/4−1/4)
　　＝π/32
　Ｓ＝12πa^2/32＝(3/8)πa^2
No.24213 - 2014/02/07(Fri) 11:10:59