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記事No.24244に関するスレッドです
★
積分
/ さやかー
引用
285をおねがいしますm(__)m
No.24244 - 2014/02/08(Sat) 12:17:54
☆
Re: 積分
/ X
引用
(1)
横軸にt、縦軸にyを取った曲線
y=t^m (A)
y=(t+1)^m (B)
(0≦t≦1)
と
A[k](k-1,0)
B[k](k,0)
C[k](k,k^m)
D[k](k-1,k^m)
(k=1,…,n)
なる４点でできる長方形A[k]B[k]C[k]D[k]
を考えます。
このとき、上記の長方形の面積のkに関する総和は
Σ[k=1〜n]k^m (C)
(C)と
(A)、t軸、直線t=nとで囲まれた領域の面積
(B)、t軸、直線t=nとで囲まれた領域の面積
との比較により問題の不等式は成立します。
(必ず図を描きましょう)
(2)
(1)の結果より
(n^(m+1))/(m+1)≦Σ[k=1〜n]k^m≦((n+1)^(m+1)-1)/(m+1) (D)
一方条件から
f(k)=k^r+Σ[l=1〜r-1]a[l]k^l (E)
(a[l]は定数)
と置くことができるので
∴Σ[k=1〜n]f(k)=Σ[k=1〜n]k^r+Σ[l=1〜r-1]a[l](Σ[k=1〜n]k^l) (F)
(E)(F)により
{n^(r+1)}/(r+1)+Σ[l=1〜r-1]a[l]{n^(l+1)}/(l+1)≦Σ[k=1〜n]f(k)
≦{(n+1)^(r+1)-1}/(r+1)+Σ[l=1〜r-1]a[l]{(n+1)^(l+1)-1}/(l+1) (G)
∴
1/(r+1)+Σ[l=1〜r-1]a[l]{n^(l-r)}/(l+1)≦{1/n^(r+1)}Σ[k=1〜n]f(k)
≦{(1+1/n)^(r+1)-1/n^(r+1)}/(r+1)+Σ[l=1〜r-1]a[l]{(1+1/n)^(l+1)-1/n^(r+1)}/(l+1) (H)
(H)においてn→∞の極限を考えると、はさみうちの原理により問題の等式は成立します。
(3)
(1/n)Σ[k=1〜n]f(k)=(1/2)f(n) (I)
とします。
(2)の結果に(I)を代入すると
lim[n→∞](1/n^r)(1/2)f(n)=1/(r+1)
これに(E)を代入して左辺を整理すると
1/2=1/(r+1)
∴r=1
よって
f(x)=x+C (J)
(Cは定数)
と置くことができます。
(J)を(I)に代入すると
(1/n){(1/2)n(n+1)+Cn}=(1/2)(n+C)
整理して
C=-1
よって
f(x)=x-1
となります。
No.24248 - 2014/02/08(Sat) 14:03:27
☆
Re: 積分
/ さやかー
引用
すみません、(1)があまり理解できませんでした
グラフがイメージできないので、もう少し詳しく解説していただけるとたすかります。
No.24259 - 2014/02/08(Sat) 19:16:53
☆
Re: 積分
/ ヨッシー
引用
図の黄色い長方形がΣk^m、青が(t+1)^m の積分、赤がt^m の積分です。
No.24260 - 2014/02/08(Sat) 20:01:00
