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記事No.24266に関するスレッドです

確率 / O脚
中学3年です。
袋の中に6枚のカードが入っていて、カードにはそれぞれ数が1つずつ書かれている。それらの数は、次の条件を満たしている。
?@6つの数の中に、無理数がある
?A6つの数の中に、同じ数がある
?B6つの数の中に、2以上の数がある
いま、袋から1枚のカードを取り出し、そのカードに書かれた数を確認してからもとにもどすという操作を2回繰り返し、取り出された2つの数の積を考える。作られる全ての積とその値となる確率についてまとめたものが下の表であるとき、次の問いに答えなさい。
(1)aの値を求めなさい。
(2)b,c,dの値を確定することにより、6枚のカードに書かれた数の和を求めなさい。(和のみ解答)

答えは(1)a=11/36 (2)7√2/2です。
問題長くてすいません…
よろしくお願いします。

No.24266 - 2014/02/08(Sat) 21:41:39

Re: 確率 / らすかる
a,b以外の合計は1/2だからa+b=1/2
もし0のカードが2枚以上あるとすると、
0になる確率は1-(2/3)^2=5/9以上となって矛盾するので、
0は1枚だけ。よって積が0となる確率は 1-(5/6)^2=11/36

bは1/2-11/36=7/36と決まる。

異なる数の積でしか出ない数は、確率が(偶数)/36になるから
確率が(奇数)/36であるものはその数の平方根が(正、負どちらか一つだけ)存在する。
(同じものが3枚または5枚でも(奇数)/36になるが、確率が大きすぎて除外される。)
よって±√8=±2√2, ±√2, ±√c は1枚ずつある。
残りの2枚は条件から同じ数であり、2回ともそれを引いた時は
c,2,8以外の正の数になるから、±√dまたは±√4=±2のどれかが2枚ある。
しかし±2があるとすると(±2√2)×(±2)=±4√2となって表と合わないので、
±2はない。従って±√dのどちらかが2枚ある。
c<|±√c||±√d|<dだから、|±√c||±√d|=|-1|。
しかしそうすると-1になる確率が4/36=1/9となって矛盾する。
よって条件を満たすカードの組は存在しない。

となってしまいましたが、どこがおかしいのかわかりません。
まさか確率の表が途中で切れてるなんてことはないですよね?

No.24271 - 2014/02/09(Sun) 00:03:53

Re: 確率 / O脚
切れていません…
解説には6枚のカードは-√2、0、1/√2、√2、√2、2√2
となる  と書いてありますが読んでもわかりません。

b=7/36 c=1/2 d=1と書いてあります。

No.24272 - 2014/02/09(Sun) 00:27:02

Re: 確率 / IT
積の最大は8=(±2√2)^2 なので2√2か-2√2の少なくともどちらか一方はあるが
2以上の数があり積の最小は-4なので,-2√2はない。
よって、2√2があり,これが最大値:場合の数1より、2√2は1枚

積の最小は-4=2√2×(-√2)なので(-√2)があり,これが最小値:場合の数2より、-√2は1枚
 積=-4となるのはこれですべて

積=8の次が4=2√2×√2なので√2があり,これが2番目:場合の数4より、√2は2枚

積=-2について-√2は1枚、√2は2枚で場合の数は4なので
 積=-2となるのは(-√2)(√2)ですべて。

-√2より大きい負数xがあると積x2√2,x√2が-4,-2以外の負の積で2種類あることになるが残りの負の積は-1だけなので,負の数は-√2だけ
よって積=-1=(-√2)(1/√2) の(1/√2)があり:場合の数2より,1/√2は1枚

以上からc=(1/√2)^2=1/2,d=(1/√2)(√2)=1。

残り1枚が正の数だとすると,ありえるのは√1=1,√4=2だが積に-√2,-2√2がないので不適、
よって残りの1枚は0。

No.24273 - 2014/02/09(Sun) 01:07:46

Re: 確率 / _
積が8となる確率が1/36だから、±√8=±2√2はどちらか1つが1枚だけある。
もしそれが−2√2だとすると、残りのカードは−2√2との積で表の通りの数を作る

-√2 , -1/√2 , -d/2√2 , -c/2√2 , 0 , 1/2√2 , 1/√2 , -2/√2

のいずれかだが、いずれにしても0<c<d<2なる範囲で2以上のものはないので不適。
2√2だとこれ自身が2以上である。また、8以上の数が表にないことから、2√2がカードの中で最大の数だと分かる。

もし0が2枚以上あるとすると、
積が0になる確率が20/36以上となって(確率の和)=1に明らかに矛盾する。
よって0は1枚で、したがってa=11/36これよりb=7/36

これを用いて確率を改めて書き直すと、順に

2/36 , 4/36 , 2/36 , 11/36 , 1/36 , 4/36 , 7/36 , 4/36 , 1/36

である。すなわち、積が負になる場合は全部で2+4+2=8通り。
0以外の5枚のカード(うち1枚は2√2)について、積が負になる場合が8通りとなるのは

(1)1枚が正、4枚が負
(2)1枚が負、4枚が正
のいずれか。残りのカードに書かれている数字をA,B,C,Dとする(A≦B≦C≦D<2√2)

(1)の場合。A≦B≦C≦D<0<2√2で、すなわち
A・2√2≦B・2√2≦C・2√2≦D・2√2で、これらは-4,-2,-1のいずれかだから、

A・2√2(=-4)<B・2√2=C・2√2(=-2)<D・2√2(=-1)であり
(それらの出る場合がそれぞれ2,4,2通りであることからわかる)
したがってA=-2/√2 , B=C=-1/√2 , D=-1/2√2だが、これは表の確率と矛盾する。

(2)の場合。A<0<B≦C≦D<2√2で、すなわち
A・2√2<AD≦AC≦AB<0で、やはり同様に、
A・2√2(=-4)<AD=AC(=-2)<AB(=-1)<0であり、
したがってA=-√2,B=1/√2,C=D=√2

カードが全部分かったのであとは計算で…

No.24274 - 2014/02/09(Sun) 01:46:45

Re: 確率 / らすかる
なるほど、答えを見て私の間違いがわかりました。
> 確率が(奇数)/36であるものはその数の平方根が(正、負どちらか一つだけ)存在する。
> (同じものが3枚または5枚でも(奇数)/36になるが、確率が大きすぎて除外される。)

これが間違いでした。
-√2が1枚と√2が2枚だったというわけですね。

No.24275 - 2014/02/09(Sun) 01:48:31