中学３年です。
袋の中に6枚のカードが入っていて、カードにはそれぞれ数が1つずつ書かれている。それらの数は、次の条件を満たしている。
?@6つの数の中に、無理数がある
?A6つの数の中に、同じ数がある
?B6つの数の中に、2以上の数がある
いま、袋から1枚のカードを取り出し、そのカードに書かれた数を確認してからもとにもどすという操作を2回繰り返し、取り出された２つの数の積を考える。作られる全ての積とその値となる確率についてまとめたものが下の表であるとき、次の問いに答えなさい。
(1)aの値を求めなさい。
(2)b,c,dの値を確定することにより、6枚のカードに書かれた数の和を求めなさい。(和のみ解答)
答えは(1)a=11/36 (2)7√2/2です。
問題長くてすいません…
よろしくお願いします。
![]() |
No.24266 - 2014/02/08(Sat) 21:41:39
| ☆ Re: 確率 / ＩＴ | | | 積の最大は8=(±2√2)^2 なので2√2か-2√2の少なくともどちらか一方はあるが
2以上の数があり積の最小は-4なので,-2√2はない。
よって、2√2があり,これが最大値：場合の数１より、2√2は１枚
積の最小は-4＝2√2×(-√2)なので(-√2)があり,これが最小値：場合の数２より、-√2は１枚
積＝-4となるのはこれですべて
積=8の次が4＝2√2×√2なので√2があり,これが２番目：場合の数４より、√2は２枚
積=-2について-√2は１枚、√2は２枚で場合の数は４なので
積=-2となるのは(-√2)(√2)ですべて。
-√2より大きい負数xがあると積x2√2,x√2が-4,-2以外の負の積で２種類あることになるが残りの負の積は-1だけなので,負の数は-√2だけ
よって積=-1=(-√2)(1/√2) の(1/√2)があり：場合の数２より,1/√2は１枚
以上からc=(1/√2)^2=1/2,d=(1/√2)(√2)=1。
残り１枚が正の数だとすると,ありえるのは√1=1,√4=2だが積に-√2,-2√2がないので不適、
よって残りの１枚は０。
|
No.24273 - 2014/02/09(Sun) 01:07:46 |
| ☆ Re: 確率 / ＿ | | | 積が8となる確率が1/36だから、±√8=±2√2はどちらか1つが1枚だけある。
もしそれが−2√2だとすると、残りのカードは−2√2との積で表の通りの数を作る
-√2 , -1/√2 , -d/2√2 , -c/2√2 , 0 , 1/2√2 , 1/√2 , -2/√2
のいずれかだが、いずれにしても0＜c＜d＜2なる範囲で2以上のものはないので不適。
2√2だとこれ自身が2以上である。また、8以上の数が表にないことから、2√2がカードの中で最大の数だと分かる。
もし0が2枚以上あるとすると、
積が0になる確率が20/36以上となって(確率の和)=1に明らかに矛盾する。
よって0は1枚で、したがってa=11/36これよりb=7/36
これを用いて確率を改めて書き直すと、順に
2/36 , 4/36 , 2/36 , 11/36 , 1/36 , 4/36 , 7/36 , 4/36 , 1/36
である。すなわち、積が負になる場合は全部で2+4+2=8通り。
0以外の5枚のカード(うち1枚は2√2)について、積が負になる場合が8通りとなるのは
(1)1枚が正、4枚が負
(2)1枚が負、4枚が正
のいずれか。残りのカードに書かれている数字をA,B,C,Dとする(A≦B≦C≦D＜2√2)
(1)の場合。A≦B≦C≦D＜0＜2√2で、すなわち
A・2√2≦B・2√2≦C・2√2≦D・2√2で、これらは-4,-2,-1のいずれかだから、
A・2√2(=-4)＜B・2√2＝C・2√2(=-2)＜D・2√2(=-1)であり
(それらの出る場合がそれぞれ2,4,2通りであることからわかる)
したがってA=-2/√2 , B=C=-1/√2 , D=-1/2√2だが、これは表の確率と矛盾する。
(2)の場合。A＜0＜B≦C≦D＜2√2で、すなわち
A・2√2＜AD≦AC≦AB＜0で、やはり同様に、
A・2√2(=-4)＜AD=AC(=-2)＜AB(=-1)＜0であり、
したがってA=-√2,B=1/√2,C=D=√2
カードが全部分かったのであとは計算で…
|
No.24274 - 2014/02/09(Sun) 01:46:45 |
|
