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記事No.24537に関するスレッドです
★ 解と係数の関係 / 菊池　悠斗
昨日に続き質問させていただきます。こちらの3問を解いていただきたいのですが、一応(1)(2)を解いてみました。(1)の答えは2だと思うのですが...あと、添付写真で(3)が二つあったので印刷ﾐｽなので(4)に訂正しておきます。宜しくお願い致します。ﾃｽﾄが近いのでこれから質問が増えるかもしれませんがどうぞよろしくお願いいたします。
No.24537 - 2014/02/20(Thu) 20:34:54
☆ Re: 解と係数の関係 / ヨッシー
(1)
P(x)=x^3+(a-1)x^2-(a+2)x-6a+8 において
P(3)＝27+9(a-1)-3(a+2)-6a+8＝20
なので、求める余りは 20。

(2)
P(-2)=0 なので、P(x) は (x+2) を因数に持ちます。
実際に割ってみると
　P(x)＝(x+2){x^2+(a-3)x-3a+4}

(3)
P(x)=0 の解のひとつは x=-2 なので、
　x^2+(a-3)x-3a+4=0　…(i)
から得られる解が実数であるためには、判別式を取って、
　(a-3)^2+4(3a-4)≧0
これを解いて、　a≦-7 または 1≦a。

(i) が重解を持つのは、a=-7 または a=1。
a=-7 のとき (i) は x^2-10x+25=0 となり、解は　x=5(重解)
a=1 のとき (i) は x^2-2x+1=0 となり、解は　x=1(重解)

(i) の解のひとつが x=-2 のとき (i) に x=-2 を代入して、
　4-2(a-3)-3a+4=0 より a=14/5
このとき(i)は
　x^2-x/5-22/5=0
これを解いて、x=-2, 11/5
以上より、a=-7, 1, 14/5

(4)
(3) より、-7＜a＜1 のとき、(i)　が虚数解を持ちます。
解と係数の関係より　α＋β＝3-a, αβ＝4-3a
α^2＋β^2＝(α＋β)^2−2αβ＝(3-a)^2-2(4-3a)＝a^2+1＝ｋ
α^2β^2＝(αβ)^2＝(4-3a)^2＝9a^2-24a+16＝5k
これを解いて、a=11/2, 1/2 ですが、-7＜a＜1 を満たすのは a=1/2。
このとき、ｋ＝a^2+1＝5/4
No.24549 - 2014/02/21(Fri) 10:45:56
☆ Re: 解と係数の関係 / 菊地　悠人
(1)後からやってみると20になりました。御丁寧な解説していただき有難うございます！大変役に立ちました。
No.24554 - 2014/02/21(Fri) 15:54:36