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記事No.24618に関するスレッドです
★ 恒等式の割り算の問題 / さかなくん
写真の青○で囲んだ二箇所がなぜそのように現してよいのかが、まかりません。

私は下記の別解の方で回答しようとしましたが、青○で囲んだ箇所がなぜそのように書いてよいのかがわかりません。

ご指導よろしくお願いします。
No.24618 - 2014/02/25(Tue) 01:59:44
☆ Re: 恒等式の割り算の問題 / angel
1つ目:
2段階で考えてみましょうか。
先に注意ですが、その前にある「余りをax^2+bx+cとする」は、今回使わないし邪魔なだけなので無視してください。

まず、F(x)を(x+1)^2で割った商をP(x)としましょう。余りは2x+1と与えられているので、F(x)=(x+1)^2・P(x)+2x+1 です。
では次に、このP(x)をx-1で割った時の商をQ(x)、余り ( 定数になる ) をaと置いてみましょう。
すなわち、P(x)=(x-1)Q(x)+a です。
で、さっきの式に代入してみると
　F(x)=(x+1)^2・{ (x-1)Q(x)+a } +2x+1
ということで、青囲みの式が出てきます。慣れてくれば、この2段階の処理を一気に扱うことができます。
No.24619 - 2014/02/25(Tue) 07:41:48
☆ Re: 恒等式の割り算の問題 / angel
2つ目:
先ほどもちょっとありましたが、x-1 等の1次式で割った余りは定数 ( 0次式と言った方が分かり易い？ ) になります。
今回、A, C に対して x-1 で割った余りを k と置いてみると、
　A(x)=(x-1)C(x)+k
です。
この関係式は恒等式なので、xがどんな値でも成り立つもの。
で、一例として x=1 の時を考えると A(1)=k となります。
※Cの中身に関係なく成立することに注意。とてもラッキーで都合が良いですね!!
この情報を利用して k を置き換えれば、
　A(x)=(x-1)C(x)+A(1)
となります。この式のA(1)を更に実際の値に置き換えたのが青囲みの式です。
これは良く使うので、まあ、やはり慣れですね。
No.24620 - 2014/02/25(Tue) 07:57:12
☆ Re: 恒等式の割り算の問題 / さかなくん
一つ目はわかりましたが、二つ目の　A(x)=(x-1)C(x)+A(1)
A(x)=(x-1)C(x)+1なのですが。なぜこれを作るかが
りかいできないんですが。

単純に今回はF(x)を(x+1)^2(x-1)で割った時の余りのを求めるという問題なので、・・・?@に代入して(x+1)^2(x-1)で割った式F(x)を導くために逆算してA(x)=(x-1)C(x)+1が必要だから、作ったっていう事でよいのでしょうか？

また、解答と別解二つありますがどちらを使ったほうが
良いとかありましたらお聞かせください。

よろしくお願いします。
No.24623 - 2014/02/25(Tue) 13:36:34
☆ Re: 恒等式の割り算の問題 / angel
> 二つ目の …。なぜこれを作るかがりかいできないんですが。
青囲みの次の行を観てください。
　F(x)=(x+1)^2・{ (x-1)C(x)+1 } +2x+1
私が1つ目の説明で書いた
　F(x)=(x+1)^2・{ (x-1)Q(x)+a } +2x+1
とソックリだと思いませんか。
違いはa=1が既に分かっているかどうかだけですね。
ということで、実は別解と言いつつ、やっていることに大きな違いは無いのです。aを先に計算するか、後から計算するかの違いだけ。
> また、解答と別解二つありますがどちらを使ったほうが良いとかありましたらお聞かせください。
どちらでも良いです。というか同じです。
どちらかと言えば、「同じ」と見抜けるようになることの方が大事でしょうか。
No.24631 - 2014/02/25(Tue) 22:05:36
☆ Re: 恒等式の割り算の問題 / さかなくん
最後まで解説ありがとうございました(TдT)
No.24674 - 2014/03/02(Sun) 23:41:11