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記事No.24626に関するスレッドです
★ (No Subject) / ヒキニート
この問題の解答解説お願いします
No.24626 - 2014/02/25(Tue) 19:15:08
☆ Re: / ＩＴ
(1)の方針　∠ROP＝θとおき ベクトルの内積からθを求める

OP↑・OR↑=(1,0,tanα)・(0,1,tanβ)＝√(1+(tanα)^2)√(1+(tanβ)^2)cosθ
tanαtanβ＝√(1+(tanα)^2)√(1+(tanβ)^2)cosθ
cosθ＝tanαtanβ／{√(1+(tanα)^2)√(1+(tanβ)^2)}
(sinθ)^2＝1-(cosθ)^2＝1-(tanαtanβ)^2／{(1+(tanα)^2)(1+(tanβ)^2)}
＝{1+(tanα)^2+(tanβ)^2)}／{(1+(tanα)^2)(1+(tanβ)^2)}
sinθ＝√{1+(tanα)^2+(tanβ)^2)}／√{(1+(tanα)^2)(1+(tanβ)^2)}…(ア)

四角柱の向かい合う側面は平行なので、□OPQRは平行四辺形で
Ｓ＝sinθ√(1+(tanα)^2)√(1+(tanβ)^2)
(ア)を代入
＝√{1+(tanα)^2+(tanβ)^2)}
No.24630 - 2014/02/25(Tue) 20:49:11
☆ Re: / ＩＴ
(2)
tanα+tanβ＝xとおく
加法定理により
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)＝1
よってtanαtanβ＝1-x
Ｓ^2＝1+(tanα)^2+(tanβ)^2＝(7/6)^2
(tanα+tanβ)^2-2tanαtanβ+1-(7/6)^2＝0
x^2-2(1-x)+1-49/36=0
x^2+2x-85/36=0
36x^2+72x-85=0
(6x-5)(6x+17)=0
x≧0なのでx=tanα+tanβ=5/6
tanαtanβ=1-x=1/6
よってtanα,tanβはt^2-(5/6)t+(1/6)＝0の２つの実数解
(t-1/2)(t-1/3)=0
0≦α≦β＜π/2　なので　0≦tanα≦tanβ
よってtanα＝1/3
No.24632 - 2014/02/25(Tue) 22:11:40
☆ Re: / ＩＴ
これは今年の東大入試で解答速報が各予備校から出てるんですね。
私の答案は√(1+(tanα)^2)、√(1+(tanβ)^2)を入れるのが早すぎて記述が煩雑になってますが、そのまま残しておきます。
No.24639 - 2014/02/27(Thu) 19:23:20
☆ Re: / ヒキニート
ITさんありがとうございました！
No.24641 - 2014/02/27(Thu) 19:40:24