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記事No.24919に関するスレッドです
★
複素数
/ さかなくん
引用
なぜ赤囲みを作りだして、
下のz=の式を作ろうとするんですか？
No.24919 - 2014/03/18(Tue) 18:48:54
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Re: 複素数
/ ヨッシー
引用
複素数ｚ＝ａ＋ｂｉが
ｚ＝ａ＋ｂｉ＝ｒ(cosθ＋ｉsinθ) (ｒ≧0)
と書けたなら、
ｚ^n＝ｒ^n(cosｎθ＋ｉsinｎθ)
と書けることは御存知のことと思います。
すると、
ｚ^2＝ｒ^2(cos２θ＋ｉsin２θ)
になっているはずですから、
ｚ^2＝ｒ^2(cos２θ＋ｉsin２θ)＝−２ｉ ・・・(i)
となるようなｒとθがわかったなら、元の数
ｚ＝ｒ(cosθ＋ｉsinθ)
が明らかになります。
(i) が成り立つには
ｒ^2＝２、cos２θ＝０、sin２θ＝−１
より
ｒ＝√2
２θ＝270°、630°、990°・・・etc.
となります。このとき、
θ＝135°、315°、495° ・・・etc.
となりますが、実際に相異なる角は 135°と315°だけです。
θ＝135°のとき
ｚ＝√2(cos135°＋ｉsin135°)＝−１＋ｉ
θ＝315°のとき
ｚ＝√2(cos315°＋ｉsin315°)＝１−ｉ
以上より、
ｚ＝±（１−ｉ）
となります。
上の解答ではｎを使って、一般的に解いていますが、実際に
異なる角度は２種類だけなので、ここでは、２つに絞って書きました。
No.24920 - 2014/03/18(Tue) 19:08:16
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Re: 複素数
/ さかなくん
引用
すいませんm(_ _)m
ｚ^n＝ｒ^n(cosｎθ＋ｉsinｎθ)
と書けることは御存知のことと思います。
の箇所の cosｎθとθになんでnをかけるかがわかりません。
No.24925 - 2014/03/18(Tue) 22:28:09
☆
Re: 複素数
/ ヨッシー
引用
手近なところで理解するなら
ｚ＝√3＋ｉ
＝2(cos30°＋ｉsin30°)
とするとき、
ｚ^2＝2^2{cos^2(30°)−sin^2(30°)＋２ｉsin30°cos30°}
＝2^2(cos60°＋ｉsin60°)
などのように、実際の例で理解してください。
一般には、
オイラーの公式
ｚ＝ｒｅ
iθ
＝ｒ(cosθ＋ｉsinθ)
を理解した上で、
ｚ^n＝(ｒｅ
iθ
)
n
＝ｒ
n
ｅ
i(nθ)
＝ｒ
n
(cosｎθ＋ｉsinｎθ)
となることを理解します。
No.24926 - 2014/03/18(Tue) 23:05:10
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Re: 複素数
/ さかなくん
引用
でわ、z^3=-2iの場合ですと、
これで良いのですか？
No.24927 - 2014/03/19(Wed) 02:16:52
☆
Re: 複素数
/ ヨッシー
引用
それぞれ
3
√2(cos90°＋ｉsin90°)＝
3
√2ｉ
3
√2(cos210°＋ｉsin210°)＝
3
√2(−√3−ｉ)／２
3
√2(cos330°＋ｉsin330°)＝
3
√2(√3−ｉ)／２
となります。
3
√2 は消えてなくなりません。
あえて書くなら
3
√2(cos210°＋ｉsin210°)＝
3
√2(−√3−ｉ)／２＝(−√3−ｉ)／
3
√2
2
3
√2(cos330°＋ｉsin330°)＝
3
√2(√3−ｉ)／２＝(√3−ｉ)／
3
√2
2
ですが、あまり意味がありません。
No.24928 - 2014/03/19(Wed) 06:10:06
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Re: 複素数
/ さかなくん
引用
サインコサインを（θ+nkπ/n）と置いて
n個の解の個数こだけK=0,1,...n-1と考え
Kに代入して行けばよいとの考えが一番理解しやすく
カウント間違いもなくできたので、
ようやく解けるようになりました。
いつもありがとうございます(_ _)
No.24952 - 2014/03/21(Fri) 02:03:05
