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記事No.24919に関するスレッドです

複素数 / さかなくん
なぜ赤囲みを作りだして、
下のz=の式を作ろうとするんですか?

No.24919 - 2014/03/18(Tue) 18:48:54

Re: 複素数 / ヨッシー
複素数z=a+biが
 z=a+bi=r(cosθ+isinθ) (r≧0)
と書けたなら、
 z^n=r^n(cosnθ+isinnθ)
と書けることは御存知のことと思います。
すると、
 z^2=r^2(cos2θ+isin2θ)
になっているはずですから、
 z^2=r^2(cos2θ+isin2θ)=−2i ・・・(i)
となるようなrとθがわかったなら、元の数
 z=r(cosθ+isinθ)
が明らかになります。 

(i) が成り立つには
 r^2=2、cos2θ=0、sin2θ=−1
より
 r=√2
 2θ=270°、630°、990°・・・etc.
となります。このとき、
 θ=135°、315°、495° ・・・etc.
となりますが、実際に相異なる角は 135°と315°だけです。
θ=135°のとき
 z=√2(cos135°+isin135°)=−1+i
θ=315°のとき
 z=√2(cos315°+isin315°)=1−i
以上より、
 z=±(1−i)
となります。

上の解答ではnを使って、一般的に解いていますが、実際に
異なる角度は2種類だけなので、ここでは、2つに絞って書きました。

No.24920 - 2014/03/18(Tue) 19:08:16

Re: 複素数 / さかなくん
すいませんm(_ _)m
z^n=r^n(cosnθ+isinnθ)
と書けることは御存知のことと思います。
の箇所の cosnθとθになんでnをかけるかがわかりません。

No.24925 - 2014/03/18(Tue) 22:28:09

Re: 複素数 / ヨッシー
手近なところで理解するなら
 z=√3+i
  =2(cos30°+isin30°)
とするとき、
 z^2=2^2{cos^2(30°)−sin^2(30°)+2isin30°cos30°}
  =2^2(cos60°+isin60°)
などのように、実際の例で理解してください。

一般には、オイラーの公式
 z=re=r(cosθ+isinθ)
を理解した上で、
 z^n=(re)n=rni(nθ)
  =rn(cosnθ+isinnθ)
となることを理解します。

No.24926 - 2014/03/18(Tue) 23:05:10

Re: 複素数 / さかなくん
でわ、z^3=-2iの場合ですと、
これで良いのですか?

No.24927 - 2014/03/19(Wed) 02:16:52

Re: 複素数 / ヨッシー
それぞれ
 3√2(cos90°+isin90°)=3√2i
 3√2(cos210°+isin210°)=3√2(−√3−i)/2
 3√2(cos330°+isin330°)=3√2(√3−i)/2
となります。

3√2 は消えてなくなりません。
あえて書くなら
 3√2(cos210°+isin210°)=3√2(−√3−i)/2=(−√3−i)/3√22
 3√2(cos330°+isin330°)=3√2(√3−i)/2=(√3−i)/3√22
ですが、あまり意味がありません。

No.24928 - 2014/03/19(Wed) 06:10:06

Re: 複素数 / さかなくん
サインコサインを(θ+nkπ/n)と置いて
n個の解の個数こだけK=0,1,...n-1と考え
Kに代入して行けばよいとの考えが一番理解しやすく
カウント間違いもなくできたので、
ようやく解けるようになりました。

いつもありがとうございます(_ _)

No.24952 - 2014/03/21(Fri) 02:03:05