[ 掲示板に戻る ]
記事No.24979に関するスレッドです
★ (No Subject) / さかなくん
赤囲みの部分が
どのような事だか、わかりません。
具体例を使ってどのように考えれば
わかりやすいか、教えて下さい。
No.24979 - 2014/03/22(Sat) 22:17:49
☆ 絶対値 / さかなくん
例えば（２）を2x+1>0と2x+1<0で場合分けして
やってみましたが、-1/2<x<4と-2<x<-1/2となってしまい
解答をみると解き方と答えが間違ってました。
このやり方はなぜ違うのでしょうか？
No.24981 - 2014/03/22(Sat) 22:28:54
☆ Re: / ヨッシー
|x|＜４ といったらｘは
-3.8, -3, -1, 0, 2, 3.4, 3.9
など、-4＜ｘ＜4 の範囲の数を指します。

|x|＞4 は、
-4.1, -5, -7, -10 などの ｘ＜−４　の範囲の数と
4.2, 6, 8, 12, 14 などの　ｘ＞４　の範囲の数を指します。
No.24982 - 2014/03/22(Sat) 22:30:50
☆ Re: / ヨッシー
例えば（２）を・・・の件

(2) |2x+1|＜x+5
i) 2x+1≧0 つまり x≧-1/2 のとき
　2x+1＜x+5 より　ｘ＜４
　よって、-1/2≦ｘ＜４
ii) 2x+1＜0 つまり　ｘ＜-1/2 のとき
　-2x-1＜x+5 より　ｘ＞-2
　よって　-2＜ｘ＜-1/2
i) ii) より
　-2＜ｘ＜４

x=-1/2 の場合をどちらかに入れてやれば、
　-2 から 4 まで切れ目なくつながります。
No.24983 - 2014/03/22(Sat) 22:37:45
☆ Re: / angel
分かり易さから言えば、「取り敢えず二乗する」というのもありです。ただし、元の数が負になりうるかどうかは、ちゃんとチェックしなければなりません。正の数同士なら、二乗しても大小関係はそのままですが、負の数も混じってくると、大小関係が狂ってくるからです。

さて、その画像に「定石」として載っているIIIは
　|A|＜B ( B≧0 )
　⇔ |A|^2＜B^2 ( B≧0 )
　⇔ A^2＜B^2 ( B≧0 )
　⇔ A^2-B^2＜0 ( B≧0 )
　⇔ (A+B)(A-B)＜0 ( B≧0 )
　⇔ -B＜A＜B ( B≧0 )
この変形の最終形です。
実際には、最終形までいかずに、その一つ前の形に留めておいた方が使いやすかったりします。

なお、B≧0 という前提がない場合ですが、B＜0 だとそもそも不等式 |A|＜B が成立しえないので、
　|A|＜B
　⇔ |A|^2＜B^2 かつ B≧0
　⇔ …
　⇔ (A+B)(A-B)＜0 かつ B≧0
　⇔ -B＜A＜B かつ B≧0
となります。
※不等号が逆の場合、|A|＞B ( Bの正負不明 ) ⇔ (A+B)(A-B)＞0 または B＜0 ですね。

今回の(2)なら、
　|2x+1|＜x+5
　⇔ |2x+1|^2＜(x+5)^2 かつ x+5≧0
　⇔ ( (2x+1)+(x+5) )( (2x+1)-(x+5) )＜0 かつ x+5≧0
　⇔ 3(x+2)(x-4)＜0 かつ x+5≧0
　⇔ -2＜x＜4 ( これで x+5≧0 も満たしている )
というように。
No.24985 - 2014/03/22(Sat) 23:45:16
☆ Re: / さかなくん
ヨッシーさんへ
なら、自分のやり方も-1/2を入れてやれば合ってると
いう事ですかね？
No.24988 - 2014/03/23(Sun) 00:28:00
☆ Re: / さかなくん
エンジェルさんの方法は、簡単で良いですね。
ちなみ、この問題(2)もx+5<0ならそもそも成り立たないので、x+5>=0だけ考えれば良いと言う事ですか？？
No.24991 - 2014/03/23(Sun) 01:56:38
☆ Re: / さかなくん
解答を見ると（4）の問題だけ、場合分けをしてるんですが
絶対値が２つ以上ある時に場合わけをするという事で
考えてしまってよいのでしょうか？
No.24992 - 2014/03/23(Sun) 02:06:20
☆ Re: / ヨッシー
>-1/2を入れてやれば
合っています。

例えば、2|x-2|＜|x+2| などは、絶対値が２つですが、
２乗する方法が使えます。
絶対値が１つなら、２乗する方法が理屈上は使えますが、
　2|x^2＋2x−3|＜x^2−4x＋2
などの場合は、２乗するのは大変ですので、場合分けをした方が楽でしょう。
No.24993 - 2014/03/23(Sun) 08:58:02
☆ Re: / angel
> ちなみ、この問題(2)もx+5＜0ならそもそも成り立たないので、x+5≧0だけ考えれば良いと言う事ですか？？

はい。そうです。

> 解答を見ると（4）の問題だけ、場合分けをしてるんですが
> 絶対値が２つ以上ある時に場合わけをするという事で
> 考えてしまってよいのでしょうか？

絶対値が2か所あると、二乗しても絶対値記号が残りますから、( 移行などしてまとめなおしてから ) もう一度二乗するか、場合分けを考えるかなど、手間が増えることになります。
特にマイナスかどうかのチェックの所がそうです。

例えば、|A|+|B| を二乗すると A^2+B^2+2|AB| となって、まだ|AB|の所に絶対値記号が残りますね。

もちろん、最初から場合分けするにしてもそれなりに手間はかかりますが、二乗しない分式の次数が上がりませんから、計算が楽になる傾向があります。

(4)の場合、二乗二回でやると、( 因数分解できるとはいえ ) 4次不等式になりますが、x＜0, 0≦x＜3, x≧3 の3通りで場合分けするなら1次不等式として解けますから…
No.25005 - 2014/03/23(Sun) 19:32:11