回答以外の別解や、簡単な方法を教えて下さい。
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No.25009 - 2014/03/24(Mon) 00:24:31
| ☆ Re: 数2 図形と方程式 / らすかる | | | 他の解法(1)
点(2,5)と円の中心(2,0)と接点で作られる直角三角形は
斜辺が5、他の1辺が√5なので、残りの辺の長さは√{5^2-(√5)^2}=2√5
よって直角を挟む2辺の比は√5：2√5=1：2
点(2,5)と円の中心(2,0)と「接線とx軸の交点」で作られる直角三角形は
上の直角三角形と相似なので、円の中心と「接線とx軸の交点」との距離は
円の中心と点(2,5)の距離の半分すなわち5/2
よって求める接線の方程式は
(2,5)と(-1/2,0)を通る直線：y=2x+1
(2,5)と(9/2,0)を通る直線：y=-2x+9
の二つ。
他の解法(2)
円の中心は(2,0)なので、円の中心と点(2,5)の距離は5、中点は(2,5/2)
その中点を中心として円の中心を通る円は(x-2)^2+(y-5/2)^2=(5/2)^2
この円と(x-2)^2+y^2=5の交点を求めると(0,1)と(4,1)で、これが2接点
よって求める接線の方程式は
(2,5)と(0,1)を通る直線：y=2x+1
(2,5)と(4,1)を通る直線：y=-2x+9
の二つ。
他の解法(3)
接線の方程式をy=a(x-2)+5とおいて円の式に代入すると
(x-2)^2+{a(x-2)+5}^2=5
x-2=tとすれば t^2+(at+5)^2=5
展開して整理すると (a^2+1)t^2+10at+20=0
この二次方程式が重解を持てばよいので、判別式をDとして
D/4=(5a)^2-20(a^2+1)=5a^2-20=0
∴a=±2なので、求める接線の方程式は y=±2(x-2)+5
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No.25011 - 2014/03/24(Mon) 04:06:20 |
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