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記事No.25051に関するスレッドです
★ identity component / みや
宜しくお願い致します。

群の証明なのですが(群の定義はわかります),どのように証明すればいいのかわかりません。

まず,この群の演算は何になるのでしょうか?

Xを位相空間とするとき,x,y∈Xに対して,X⊃∃S連結部分集合;x,y∈Sのとき,x〜yと表すことにすれば
〜は同値関係なし,
C(x):={y∈X;x〜y}でXを類別した時,同値類C(x)を連結成分というのだと思います。

identity componentというのはこの問題ではどのようなものなのでしょうか?

そして,AからABへのpathとしてどのようなものが取れるのでしょうか?
No.25051 - 2014/03/26(Wed) 12:09:06
☆ Re: identity component / みや
証明してみました。これで大丈夫でしょうか?
No.25106 - 2014/03/29(Sat) 05:44:59
☆ Re: identity component / みや
続きです。
No.25107 - 2014/03/29(Sat) 05:47:21
☆ Re: identity component / 黄桃
identity component を勘違いしています。
[Def1]によれば identity component は写像の集合と書いてありますが、
問題には identity component はGの部分集合とあります。
[Def1]では、γの行き先はGですから∃A∈Gは明らかで、不要です。
[Def1]はG内の1から始まるpath を定義しています。

＃ホモトピー群とかを別に学習していて、それと混同していませんか？

ユニタリー行列の話をしているようなので、スカラーは複素数なのでしょう。
連続というのはおそらくnxn行列を C^(nxn)空間の点とし、通常の位相（距離）を入れたものとみているのでしょう。

identity component とは {X∈G| ∃γ∈Map([0,1],G) γは連続かつγ(0)=1, γ(1)=X} のことです。
群の演算は最初から最後まで行列の積のことです。
群Gの部分集合 I がGの部分群になる条件は、任意の２つの元X,Y∈I について、X^(-1)∈I, X*Y∈I がいえることでしたね
。
I=identity component の場合にこの条件が成立することを確認するのが問題の趣旨です。

なお、identity component とは結果的には1を含むG内の連結成分になります（当面の状況であれば、連結⇔弧状連結なので）。G=GL(n,C)なら、identity component=G ですし、Gが有限群なら、identity component={1} です。G={X|det(X)=±1} なら identity component={X|det(X)=1}です。

＃具体的にpathがわかる簡単な例をあげます。
＃スカラーが実数になりますが、2x2行列の原点回りの回転行列全体のなす群をGとします。
＃Gのidentity component はGです。
＃Gの元をR(θ)（θが回転角度）と書けば、path γはγ(t)=R(tθ)です。
No.25113 - 2014/03/29(Sat) 13:27:31
☆ Re: identity component / みや
大変有難うございます。拝読しております。分かりかけてきました!

>identity component とは {X∈G| ∃γ∈Map([0,1],G) γは連続かつγ(0)=1, γ(1)=X} のことです。

この集合がGの部分群になるのですよね。
それでちと疑問なのですが,この集合に入らないGの元とはどういったものが挙げれますでしょうか?
(ちょっと思いつきません（*^_^*))
No.25140 - 2014/03/30(Sun) 10:13:47
☆ Re: identity component / 黄桃
>この集合に入らないGの元とはどういったものが挙げれますでしょうか?
Gによってidentity component が異なるのはいいでしょうか。

上に述べたように、
Gが有限群(例えばG={原点回りの0,90,180,270度回転})であれば、1以外の元ですし、G={X|det(X)=±1}であれば、{X|det(X)=-1}がそうです(det(X)の連続性より、1から始まるpath内では、1しか取れません）。
No.25145 - 2014/03/30(Sun) 13:06:02
☆ Re: identity component / みや
大変有難うございます。かなり分かってきました!

identity componentの"identity"とはγ(0)=1の"1"の事なのですね。

当問題にて"matrix multiplication is a continuous operation"とあるのですが,
"行列の掛け算が連続"とは一体どういう意味なのでしょうか?

あと,det(X)=-1なるXがdet(X')=1なるX'に連続移動でたどり着けない事は連結性を用いて示すのですね?
No.25162 - 2014/04/01(Tue) 10:52:11
☆ Re: identity component / 黄桃
もう見てないかもしれませんが、念のため。

>identity componentの"identity"とはγ(0)=1の"1"の事なのですね。

そうです。Gを位相空間と見たときの単位元を含む連結成分のことです。

>matrix multiplication is a continuous operation

x∈Gに対して写像 g_x:G→G を g_x(A)=xA で定義します(Axでも同様)。x,A∈Gだから xA∈Gなので well-defined です。この写像が(Gの位相に関して)連続だということです。

>det(X)=-1なるXがdet(X')=1なるX'に連続移動でたどり着けない事は連結性を用いて示すのですね?

それでもいいですし（連結成分の連続写像による像は連結）、定義だけから背理法で証明することも可能です。
det:G→{1,-1} が連続であることをどう使うかだけです。
No.25285 - 2014/04/05(Sat) 14:44:56