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記事No.25092に関するスレッドです
★ (No Subject) / tt
次のような問題をテストで見ました。
(詳細は覚えてないので一般化してしましましたが、、)
これって解けますかね？自分も考えているのですが中々難しく詰まっています。一般化したらとけないのでしょうか、、
どなたか博識の方、途中まででも全然構いませんので力を貸してください。お願いします。
No.25092 - 2014/03/28(Fri) 16:57:02
☆ Re: / らすかる
私は全然博識ではありませんが
（そもそも博識だけでは数学の問題は解けません）

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d とすると
f'(x)=3ax^2+2bx+c
f'(x)=0の解をα,βとして
f(α)f(β)=0を満たせば重解を持ちます。
（α,βが複素数でf(α)f(β)=0を満たすことはありません。）
f(α)f(β)=0を計算すると
18abcd+b^2c^2-27a^2d^2-4ac^3-4b^3d=0
という式になりますので、
18abcd+b^2c^2-27a^2d^2-4ac^3-4b^3d=0
が重解を持つ条件です。
（この左辺は三次方程式の判別式です。）
No.25096 - 2014/03/28(Fri) 18:16:50
☆ Re: / tt
> 私は全然博識ではありませんが
> （そもそも博識だけでは数学の問題は解けません）
>
> f(x)=ax^3+bx^2+cx+d とすると
> f'(x)=3ax^2+2bx+c
> f'(x)=0の解をα,βとして
> f(α)f(β)=0を満たせば重解を持ちます。
> （α,βが複素数でf(α)f(β)=0を満たすことはありません。）
> f(α)f(β)=0を計算すると
> 18abcd+b^2c^2-27a^2d^2-4ac^3-4b^3d=0
> という式になりますので、
> 18abcd+b^2c^2-27a^2d^2-4ac^3-4b^3d=0
> が重解を持つ条件です。
> （この左辺は三次方程式の判別式です。）

なるほど、確かに三次関数ならその条件でいけますね！！
ありがとうございます^ ^

一般に、重解をもつ⇔極大or極小点がx軸上にある
は成り立ちますよね？
No.25097 - 2014/03/28(Fri) 20:25:44
☆ Re: / らすかる
> 一般に、重解をもつ⇔極大or極小点がx軸上にある
> は成り立ちますよね？

成り立ちません。
反例：y=x^3
No.25098 - 2014/03/28(Fri) 21:51:06
☆ Re: / tt
それではどういう条件が重解をもつことと同値なのでしょうか。
らすかるさんの解答が4次以上でも使えるのか興味があります。
No.25099 - 2014/03/28(Fri) 22:20:42
☆ Re: / らすかる
「重解を持つ」⇔「微分係数が0になるいずれかの点で、元の方程式の値が0になる」
で、それを式で表したものが f(α)f(β)=0 です。
No.25100 - 2014/03/28(Fri) 22:36:50
☆ Re: / ポリパラフェニレンテレフタルアミド
使える、と思います。

f'(x)=0の解をα,β,γとして
f(α)f(β)f(γ)=0を満たせば重解を持ちます。
No.25123 - 2014/03/29(Sat) 18:11:18
☆ Re: / らすかる
三次関数の場合は「虚数の重解」がありませんので
f(α)f(β)=0であれば実数の重解を持ちますが、
四次関数の場合はf(α)f(β)f(γ)=0となっても
重解が「虚数の重解」である場合があります。
よって「重解」の定義が「実数の重解」の場合は、
f(α)f(β)f(γ)=0だけではダメです。
No.25126 - 2014/03/29(Sat) 19:14:46
☆ Re: / ポリパラフェニレンテレフタルアミド
確かにそのとおりでした。訂正ありがとうございました。
No.25132 - 2014/03/29(Sat) 20:58:09