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記事No.25117に関するスレッドです
★ (No Subject) / tt
これって漸化式解けるでしょうか？
やはり解けない漸化式もあるのでしょうか、、
No.25117 - 2014/03/29(Sat) 15:57:52
☆ Re: / らすかる
無数にある漸化式のうち、解けるものはごく一部だけであって、
漸化式を解く問題に出されるものは
そのわずかしかない「解ける」漸化式だけです。

その問題は「a[n]の一般項を求めよ」という問題なのですか？
No.25118 - 2014/03/29(Sat) 16:01:06
☆ Re: / tt
回答ありがとうございます。
問題は[a100]をもとめよ。というものです。
これでもなかなか悩まされましたけど>_<
[ ]はガウス記号ですが、念のため
No.25119 - 2014/03/29(Sat) 16:50:19
☆ Re: / angel
ヒント無しだと少しキツいかな…?

大雑把に a[n]≒√(2n) だと気付けばなんとかなると思うのですが…

a[n] を綺麗に表せる式はありませんから、上・下両方から挟んで評価するわけですが、下側の評価として a[n]≧√(2n) ( ただしn=1の時を除く ) はそれほど難しくないと思います。
問題は上側。a[n]≦√(2n+k) のようにするのは無理そうなので…。a[n]≦√(2n)+α のような形ならなんとかなりそうでしょうか。
No.25127 - 2014/03/29(Sat) 20:08:31
☆ Re: / らすかる
問題が「[a[100]]を求めよ」ならば、
多分一般項は出せないのでしょうね。

私が解くとしたら

(a[n+1])^2=(a[n])^2+1/(a[n])^2+2＞(a[n])^2+2
(a[2])^2=4 なので n＞2 のとき (a[n])^2＞2n

a[3]=5/2 から
(a[3])^2＞4 なので n＞2 のとき
(a[n+1])^2=(a[n])^2+1/(a[n])^2+2＜(a[n])^2+9/4
(a[3])^2＜3(9/4) なので n＞2 のとき (a[n])^2＜(9/4)n

∴200＜(a[100])^2＜225 なので [a[100]]=14
No.25129 - 2014/03/29(Sat) 20:18:22
☆ Re: / tt
らすかるさん、いつもありがとうございます。
らすかるさんの解答でわからないところがあったのですが、
(a[2])^2=4 なので n＞2 のとき (a[n])^2＞2n
これはなぜこのように言えるのでしょうか？
No.25134 - 2014/03/30(Sun) 01:02:29
☆ Re: / tt
angelさん、回答ありがとうございます。
a[n]≒√2nというのはどういう発想でしょうか。
教えてくださいm(_ _)m
No.25135 - 2014/03/30(Sun) 01:09:00
☆ Re: / tt
> らすかるさん、いつもありがとうございます。
> らすかるさんの解答でわからないところがあったのですが、
> (a[2])^2=4 なので n＞2 のとき (a[n])^2＞2n
> これはなぜこのように言えるのでしょうか？


すいません、わかりましたm(_ _)m
No.25136 - 2014/03/30(Sun) 01:12:10
☆ Re: / らすかる
angelさんではないですが、私はa[n]≒√(2n)に以下のようにたどり着きました。
a[n]=f(n) つまり関数とみると
f(n+1)=f(n)+1/f(n)
f(n+1)-f(n)=1/f(n)
{f(n+1)-f(n)}/{(n+1)-n}=1/f(n)
f'(n)≒1/f(n)
となります。
微分すると逆数になる関数でパッと思いつくのは
（パッと思いつかなくてもyy'=1を解けばよい）
y=√(2x+C) → y'=1/√(2x+C) ですから
f(n)≒√(2n) と予想できます。

ちなみに私も最初にf(n)≒√(2n)にたどり着いてから
それを使って上下から挟もうと思ったのですが、√だと結構大変で、
(a[n])^2で考えた方が簡単ということに気付きました。
No.25137 - 2014/03/30(Sun) 05:58:18
☆ Re: / angel
> a[n]≒√2nというのはどういう発想でしょうか。

問題が[]を求めるものなので、[a[n]]=1 の時、[a[n]]=2の時、…がそれぞれどうなるかと疑問に思ったのがスタートです。

そうすると、[a[n]]=k となってから a[a[n]]=k+1 になるまで、漸化式からすると、大雑把に k項進める ( 大体 +1/k を k 回程度繰り返す ) ことになりそうだと思いまして。
1+2+…+k-1=k(k-1)/2≒k^2/2 で、a[k^2/2]≒k ということは、裏を返せば a[n]≒√(2n) だな、と。

らすかるさんのように、a[n]^2≒2n にした方が√がなくてやり易かった気もしますが、

　√(2n+2)-√(2n)=2/(√(2n+2)+√(2n))≒1/√(2n)
　※有理化の逆みたいな

があったので、まあ何とかなりそうということで。
No.25144 - 2014/03/30(Sun) 12:55:33
☆ Re: / angel
一応、私の考えた解答例を載せます。[a[100]]=14 を求めるところは、まあ、割愛で。

　関数 f(x)=x+1/x とする時、f'(x)=1-1/x^2 より、x＞1 において f'(x)＞0 すなわち f は x≧1 において単調増加。

　ここで、n≧2 において √(2n)≦a[n]＜√(2n)+1/2 を帰納法により示す。
　・a[2]=a[1]+1/a[1]=2 より n=2 の時成立。
　・k≧2 において √(2k)≦a[k]＜√(2k)+1/2 と仮定すると、
　　√(2k+2)-√(2k)=2/(√(2k+2)+√(2k)) より、
　　1/√(2k+2)＜√(2k+2)-√(2k)＜1/√(2k)
　　これにより、
　　　√(2k+2)＜√(2k)+1/√(2k)、また 1/√(2k)≦1/2 より √(2k+2)＜√(2k)+1/2
　　　√(2k+2)+1/2＞√(2k)+1/2+1/√(2k+2)＞√(2k)+1/2+1/(√(2k)+1/2)
　　上記 f の性質より、√(2k)≧1 であるため
　　　f(√(2k))≦f(a[k])＜f(√(2k)+1/2)
　　以上により、
　　　√(2k+2)＜√(2k)+1/√(2k)=f(√(2k))≦f(a[k])＜f(√(2k)+1/2))=√(2k)+1/2+1/(√(2k)+1/2)＜√(2k+2)+1/2
　　　これと、f(a[k])=a[k+1]により、√(2k+2)≦a[k+1]＜√(2k+2)+1/2
　　　これは、n=k+1 の時も √(2n)≦a[n]＜√(2n)+1/2 が成立することを示す。

　よって、任意のn≧2 において √(2n)≦a[n]＜√(2n)+1/2 が成立する。
No.25146 - 2014/03/30(Sun) 13:35:44
☆ 余談 / angel
蛇足ながら。

私の解答の場合は、√(2n)≦a[n]＜√(2n)+1/2
らすかるさんの解答の場合は、√(2n)≦a[n]＜√(2.25n)
という絞込みをしていることになります。
それぞれ鍵となったのは、
　√(2n+2)-√(2n)=2/(√(2n+2)+√2n)、1/√(2n+2)＜2/(√(2n+2)+√(2n))＜1/√(2n)
　(a[n+1])^2-a[n]^2 = 2+1/a[n]^2、2＜2+1/a[n]^2＜2.25
ですね。

n=100の場合、上限がちょうど√225=15 になることを考えると、出題者が想定していたのはらすかるさんの解法でしょうね。
※私の解答でもいけますが、解答の書き易さが大分違うので。

…という所まで事前に見抜ければ良いのですがね。
まあ、通常であればこういう「解き方の方針」というのは小問等で示されているものであり、ノーヒントで全部解け、というのが難しいのはしようがないところです。
No.25150 - 2014/03/30(Sun) 17:11:17