[ 掲示板に戻る ]
記事No.25189に関するスレッドです
★ (No Subject) / tt
次の問題が、解答をみたらわかるのですが、とても思いつけそうにないものでした。私が考えついたのは、写真に写っている解答の部分のところまで、すなわち6n-1=p pは素数 としたときに矛盾を示すといったところです。ここから積の形にもっていくこともできず他の方針もたちませんでした。
ここからの議論を進める方法、ヒントなどを教えて頂けませんか？
No.25189 - 2014/04/02(Wed) 20:40:00
☆ Re: / IT
質問の趣旨が、良く分からないのですが？
>ここからの議論を進める方法、ヒントなどを教えて頂けませんか？

解答に書いてあるのと違う方法を探しておられるのですか？
解答をさらに分かりやすく解説して欲しいと言うことですか？（「解答をみたらわかる」とあるのでそうではないと思いますが）
解答の方針をどうやって思いつくのか？という質問ですか？

いずれにしても、解答を最後まで見ないと何ともいえないと思います。

それと
>すなわち6n-1=p pは素数 としたときに矛盾を示すといったところです
「pは最大素数」の間違いですか？
No.25191 - 2014/04/02(Wed) 21:07:27
☆ Re: / angel
画像だけだと説明としては分かりにくいので、画像はなくとも、自分の言葉で説明できるようにした方が良いとは思います。

さて、質問と画像の内容から推測するに、

・6n-1の形式の素数が無数にあることを証明するために、
・背理法を採るという方針は十分想定できるものの、
　※6n-1の形式の素数に最大値があることを仮定し、矛盾を導くという背理法
・いざ矛盾を導くためのネタを解答例のように自分が見つけられるとは思えない。
　※どうやら画像の解答例では、仮定上の最大値Pに対して、P!-1 を持ち出しているようですね。
・そのネタを見つける発想やコツはどこから来ているのか、どのように身に着けられるのか。

というところが焦点ですかね。
うん、まあ、皆が皆ゼロからこういうことを思いつけるかというと、そんなことはない訳で…。たとえ後から見れば簡単そうなことであっても。( だから「コロンブスの卵」という言葉もあるわけで )
で、今は有難いことに、先人達の知恵の蓄積がある訳なので、それに学ぶことで解けるようになるわけです。
だから、解答を見て納得できたのであれば、それはそれで十分なのではないかと思います。真面目な話として、解答を見て理解する、というのもそれなりに能力を必要としますから。
※不得意な人が拙速に解答だけ見て何とかしようとしても、できないものなので…
No.25201 - 2014/04/02(Wed) 23:58:30
☆ Re: / angel
そうは言っても、それでは納得できないでしょうから…

解答例ではどうやら P!-1 を考えることで矛盾を導いています。
これは、おそらく闇雲に探しても思いつくものではないでしょう。やはり、背理法を展開するにあたり、どのようなモノを見つければ矛盾へと導けるか、それを意識しなくてはいけません。
※丁度狩りで獲物を仕留めるために、逃げ道を奪い追い詰めるよう頭を使う必要があるのと同じ

最終的な目標は、「最大値Pを超える6n-1型素数」です。が、単にPより大きい数を持ってきても不十分です。なぜなら、都合よく素数になってくれるかどうかが分からないから。
もし合成数であれば、小さな素数の積に分解できてしまう。まあ、獲物に逃げられたようなものですね。

しかしながら、ここでもう一段解考えを進められれば勝ちです。
それは、「Pを超える素数」ではなく「新種の素数」と考えを転換することです。
つまり、最大値が分かっているのであれば、それ以下の素数も全て分かっているはずです。そのどれにも該当しない素数、「新種の素数」であれば…、それは最大値を超える素数に他なりません。これなら元の数が合成数でも構いません。分解した結果「新種の素数」が現れれば良いのですから。獲物を追い詰めた瞬間です。
※おそらく解答例でも、「P!-1自身が素数」もしくは「P以下の素数以外から構成される合成数」だから「新種の素数が現れる」というようなロジックになっているはずです。

ここまでくれば、「Pを超える数」「P以下の6n-1型素数では割り切れない」「そうは言っても何か6n-1型素数を因数に含む」という条件を満たす数を作り出せれば…、ということで、目標がかなり明確になります。
そこから出てくるのが、例えば P!-1 ということです。
※もちろん、これ以外でも良いわけです。…自分で別の例を考えてみるのは、それなりに有意義ではないかと思います。
No.25202 - 2014/04/03(Thu) 00:23:02
☆ Re: / tt
angelさん、詳しい回答ありがとうございました。
確かにそう考えると自然な発想に基づいているとは思います。(一番最初に考えた人はすごいですが)
そこで、一つ質問があるのですが、このような背景知識(偉人の論文？)というのはやはり大学まで待たないと得られないものでしょうか。
問題を解くにあたってこのような処理の仕方を一度体感しておくことは結構重要なことだと思いますが、勉強する術もありません。
やはり素直に待つしかできないのですかね？笑
No.25212 - 2014/04/03(Thu) 10:12:31
☆ Re: / angel
> 大学まで待たないと得られないものでしょうか。
いや、そんなこともないと思います。
むしろこういった「高校までの知識で対処できるけど高校生が自力で解けるかというと…」な範囲は、大学でもやらないような…。

興味があるのなら、図書館で色々資料を探してみれば、得るものはあると思いますよ。とは言っても、迂闊に大学レベルのものに手を出すと、却って混乱するだけという危険もあり、手放しでお勧めできるわけではありませんが。

私個人の話で言えば、数学オリンピックが丁度良い刺激になりましたね。周りでも参加する人が多かったし。
※ただ、存在を知ったのが高1の時だったため、参加できたのは高2の1回きりで、ちょっと悔しかったのですが…。いや、当時は金一封が出たので。

数学オリンピックは問題集もあるので、読んでみてもいいかもしれません。が、読むと挫折感を覚える人も多いと思うので…まあ無理にとは。何より、来るべき大学受験を考えた時に、プラスになるのかは、私自身、何とも言えないからです。
※世知辛い話ながら、中高生は大学受験のことを無視した生活ができないこの世の中なので
No.25213 - 2014/04/03(Thu) 11:32:31