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記事No.25265に関するスレッドです
★ 指数の計算 / さかなくん
（2）の問題なんですが、解答をみたら何故か相加相乗平均を使って
解いてるんですが、こんな時に相加相乗平均って使うんですか？
使えばまー、上手い具合に解けちゃう事はわかるのですが、、、
私の中には、この考えは無くてグラフに2つの関数を実際にかいて
合わせた最小値が2だろーなと言う位しか、思いつきませんでした。
問題を沢山解いていけば、こんな場面で相加相乗平均を使えばいいんだなと思い付く様になるのでしょうか？
No.25265 - 2014/04/05(Sat) 03:31:16
☆ Re: 指数の計算 / さかなくん
解答です。
No.25266 - 2014/04/05(Sat) 03:32:57
☆ Re: 指数の計算 / みずき
>問題を沢山解いていけば、こんな場面で相加相乗平均を使えばいいんだなと思い付く様になるのでしょうか？

人によると思いますが、個人的には、そうだと思います。
・・・とこれだけで回答は終わりにすべきなのかもしれませんが、
さかなくんさんが書かれたと思われる記述について、一言。
「表より2^x+2^(-x)は最小値が2で、それより大きくなると考えました。」
と書かれていると理解しますが、根拠は何ですか？
（表というのは、グラフのことかと理解しています）

2^xは単調増加し、2^(-x)は単調減少しますね。
単調増加する関数と単調減少する関数の和を考えているわけですが、もし「グラフから明らか」とおっしゃりたいのなら、まったく明らかではないですよ。

つまり、微分するなり、相加相乗を使うなりしないと
決して断定できるようなことではないですよ、ということです。

ところで、
No.25182 - 2014/04/02(Wed) 13:25:56
で、さかなくんさんがご質問された問題に回答しましたが、
ご覧になっているでしょうか。
No.25268 - 2014/04/05(Sat) 04:07:15
☆ Re: 指数の計算 / さかなくん
みずきさん　No.25182 - 2014/04/02(Wed) 13:25:56
のご回答ありがとうございました。
ご挨拶遅くなりました。ありがとうございます。

＞「表より2^x+2^(-x)は最小値が2で、それより大きくなると＞考えました。」
＞と書かれていると理解しますが、根拠は何ですか？
＞（表というのは、グラフのことかと理解しています）

こちらですが、２つのグラフはy軸より離れるほど１方は
減りが穏やかになり、他方は増加が急になっていく関数なので、y軸より離れれば離れるほど２つの和は無限に大きくなります。２つの関数の傾きといいますか、勾配の性質を考えてこのようになると考えました。

間違っているでしょうか？
No.25270 - 2014/04/05(Sat) 04:22:56
☆ Re: 指数の計算 / みずき
＞間違っているでしょうか？

それを答案に書くおつもりなら、点はもらえないと思います。
そういう意味では、間違いです。

もちろん、言わんとすることは理解します。
が、それは「観測」であって、証明にはなりません。

今、点(0,1)にいるとしましょう。
このとき、2つの関数の和は、2ですね。
そこから、少しだけ右にずれるとき、
1つの関数は増加し、もう一方は減少します。
ここで問題になるのは、どのくらい増加し、あるいは
減少するかですね。
さかなくんさんは、ここの部分を「傾き、勾配」という
言葉で説明されていらっしゃると理解します。

おそらく2^xの方が大きく増加する、とおっしゃりたいと
思います。(2^(-x)は小さく減少する)

で、問題は、その根拠です。なぜそう言い切れるのですか？
それはグラフから明らかで済ましてはいけません。

きっとこのことを説明しようとすれば、微分という概念を
避けては通れないことにお気づきになるはずです。
No.25272 - 2014/04/05(Sat) 04:38:09
☆ Re: 指数の計算 / みずき
追記します。

もしかしたら、私がさかなくんさんが書かれた言葉を
誤解していたかもしれません。

＞２つの関数の傾きといいますか、勾配の性質を考えてこのようになると考えました

とありますが、これは「微分」を考えている、という
意味でしょうか。

もしそうならば、正しいです。
（つまり、2つの関数を微分している、という意味なら
正しいです。）

もしそうでないならば、すなわち、グラフから判断して
（グラフからそう読み取れる）、
という意味なら、正しくないです。

私は先ほどは、後者の場合だろうと勝手に決めつけておりました。
No.25275 - 2014/04/05(Sat) 04:56:28
☆ Re: 指数の計算 / さかなくん
そうなんですね。
なら2^xと(2^(-x)を微分して傾き具合を数値で比べてよってという形で＞＝２を導き、答案に書くまですれば完全解答にはなるということですか？
No.25276 - 2014/04/05(Sat) 05:01:03
☆ Re: 指数の計算 / みずき
そうですね。
ただ、個別に微分するよりは、
2^x+2^(-x)を微分することをお勧めしますが。
やってみていただくと分かると思いますが、
すぐに極小値2が得られます。
No.25277 - 2014/04/05(Sat) 05:05:15
☆ Re: 指数の計算 / さかなくん
なるほど。やってみます。
みずきさん、何度もありがとうございました。
No.25278 - 2014/04/05(Sat) 05:11:01
☆ ツッコミ / angel
あれれ。誰もツッコミを入れていないので、指摘しますが。
(2)の解答で相加・相乗平均を使うのは誤りですよ。

つまり、画像に載っている解答例は×です。というか、やっちゃいけない間違いの典型なんですけど…。

※なお、「答えを見積もる/検証するために相加・相乗平均を使う」というのは全然問題がないので念の為。というのは、それは解答に書かずにメモなり頭の中だけで終わることなので。
※だから、途中経過を書く必要がない問題なら、相加・相乗平均の関係だけでいくのも、まあ、アリと言えばアリですよ。ちょっと手抜きになりますが。

では、なぜ相加・相乗平均を使うのが誤りか、その理由。
それは相加・相乗平均の関係が示す不等式と、今回の答えとなる不等式の内容がミスマッチだからです。

今回の答え t≧2 というのは、単に「tは2以上です」という意味の不等式ではありません。「(xを適切に選べば)tは2以上の全ての値をとりえます」という意味であって、そもそも解答として求められているのはそういうモノです。
※単に大小関係だけでいうなら、「tが0以上」も嘘ではありませんが、だからといって t≧0 と解答すると×になる、ということです。

ところが、相加・相乗平均の関係が示すのは、あくまで「相加平均は必ず相乗平均以上の値ですよ」という関係だけ。
※まあ等号成立がいつか分かる、というのもありますが
今回の(誤りの)解答例で、相乗平均が定数1になることで、「相加平均が1以上」ということは分かりますが、では「相加平均は1以上のどんな値にもなりうる」かどうかまでは分からないのです。

ということで、相加・相乗平均の関係は便利なんですが。使いどころはちゃんと考えましょう、ということで。
No.25279 - 2014/04/05(Sat) 08:56:19
☆ 補足 / angel
相加・相乗平均が使えないとすればどうするかというと、勿論微分を使っても良いですが ( 指数関数なので数III相当…のはず )、数IIまでならば「2次方程式が解をもつ条件」として考えるところでしょう。
※ z+1/z=a ⇔ z^2-az+1=0 が解を持つ

なお、「絶対に」相加・相乗平均を使ってはいけないかというと、そうでもない ( 相加・相乗平均を使った解答も可能である ) のですが、あまり気軽に手を出すのはどうかと思うので、ここでは割愛します。
※文面だけ見ればすごくシンプルです。
No.25281 - 2014/04/05(Sat) 10:39:11
☆ Re: 指数の計算 / さかなくん
angelさん因みに、私のグラフより明らかとしてしまったら
やはり部分点どころか点数は頂けない解答になりますか？　
No.25282 - 2014/04/05(Sat) 13:07:20
☆ Re: 指数の計算 / みずき
＞angelさん
ご指摘ありがとうございます。

＞さかなくんさん
ごめんなさい。
angelさんのおっしゃるように
「tのとりうる値の範囲を求めなさい」
という問題では、相加・相乗平均は使えません。
理由は、angelさんが書かれている通りです。

私は問題が「tの最小値を求めなさい」だと思い込み
ずっとコメントしてました。

念のため。「tの最小値を求めなさい」という問題
でしたら、相加・相乗平均は使えます。
No.25286 - 2014/04/05(Sat) 15:20:04
☆ グラフより明らか / angel
> 私の「グラフより明らか」としてしまったら
> やはり部分点どころか点数は頂けない解答になりますか？　

採点に携わったことはないので確かなことは言えませんが、私の感覚としては、限りなくゼロ点に近い、だと思います。

というか、「グラフより明らか」は使ったら負けと思っておいた方が良いです。参考書でたまにそう書いているとしても、マネするのは得策ではありません。
※「これ以上は簡単だから各自やってね」位に受け取っておいた方が無難

そもそもグラフというのは、「計算結果」を「目で見て分かり易くする」ものなので、何も計算しないでグラフ上の図形的な性質を云々するのは原則としてナシです。
例外的に、直線・放物線・円等、図形的な性質が既にある程度分かっているもので、上下(y軸方向)左右(x軸方向)の位置関係、内外、交わる・交わらない等の状況をグラフの見え方だけで説明するのはありえますが。
No.25292 - 2014/04/05(Sat) 20:59:14
☆ 今回の場合 / angel
ただ、今回の場合、x=0 で t が最小値を取るというのは、直感的には正しいところ。
※その直感がたまたまだとあまり意味ないですが…

なので、その直感を裏付けるキーワードがあれば、ゼロ点にはならない可能性が高いです。
最も重要なキーワードが一つ。これで半分位でしょうか。後もう一つキーワードが上がれば、根拠としては何とか出そろいます。
そこまで分かっていて「明らか」というのであれば、まあ納得できますが…。「明らか」と言えるくらいなら解答でちゃんと説明できるよね、というお話ですね。

言葉も補ってちゃんと書くならこんな感じ。

--
2^xおよび2^(-x)は共に○○かつ○○である。
そのため、その和も○○かつ○○である。
ここで、y=2^x, y=2^(-x)のグラフは○○を○○として○○である。そのため、その和のグラフ y=2^x+2^(-x)は○○に関して○○。
冒頭の○○という性質のため、x=0 において、y=2^x+2^(-x)は○○かつ○○となる。
ゆえに、最小値は2
--

うーん…。これでも減点されても文句は言えないところですね。
でも、少なくともこれを穴埋めできる位でないと、計算ナシでグラフの性質だけで説明なんて、到底無理です。
しかも、これは、「相加・相乗平均」の話の時と同じく、最小値を求める所までしか対応していませんから、まだ更に追加で説明が必要です。

そこまで解答書くのに苦労する位なら、( グラフでどうこう言うなら ) 微分を計算して増減表書いた方が手っ取り早いと思います。
No.25294 - 2014/04/05(Sat) 21:22:17
☆ Re: 指数の計算 / さかなくん
angelさんありがとうございました。
○○を考えてみたのですが、全部は埋められませんでした
対象？とかも入る所もあんですかね？

やっと納得できました。
ありがとうございました。

z+1/z=a ⇔ z^2-az+1=0 が解を持つで
こちらの問題もやってみます。
No.25359 - 2014/04/07(Mon) 11:29:29