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記事No.25338に関するスレッドです
★ (No Subject) / tt
これを教えてください。
No.25338 - 2014/04/06(Sun) 18:51:21
☆ Re: / みずき
すべての整数nに対してf(n)が整数であるような
多項式f(x)を整数多項式と呼ぶことにします。

「f(x)は整数多項式である」
⇔「ある整数kについてf(k)は整数で、f(x+1)-f(x)は整数多項式である」

という事実を使うと証明できます。
この事実自身は、数学的帰納法で示せますね。
No.25343 - 2014/04/06(Sun) 20:45:36
☆ 参考 / angel
帰納法ではないので、あくまで参考 ( ちょっと解答には使いづらい ) ですが、次のように考えることもできます。

話を単純化するため、3次式の例でいきましょう。
まず、
　f(x)=a[3]/3!・x(x-1)(x-2)+a[2]/2!・x(x-1)+a[1]/1!・x+a[0]/0!
という形に変形することにします。ちなみに 0!=1 です。念の為。
※毎回成功するの? と疑う場合 ( 良いことですね ) は、
　まず a[3]=3!・( f(x)の3次の係数 ) として、
　次に a[2]=2!・( f(x)-a[3]/3!・x(x-1)(x-2) の2次の係数 ) として、
　…
　という操作を考えてください。

そうすると、x=0〜3 の全てにおいて f(x) が整数というのは、丁度 a[0]〜a[3] が全て整数であることに対応します。( 必要十分 )
でもって、a[0]〜a[3]が全て整数であれば、任意の整数 k において f(k) は整数になります。
なぜなら、それぞれの項からa[〜]を除いた部分の 1/3!・k(k-1)(k-2)、1/2!・k(k-1)、1/1!・k、1/0! が全て整数になるからです。
※連続するm個の整数の積はm!の倍数
　…手抜きな説明でいくなら、連続するm個の自然数の積 xPm=xCm・m! だから。

この話は何次式でも同じなので、ということは、「f(0)〜f(n)が全て整数である」は、「a[0]〜a[n]が全て整数である」を仲介して、「f(k)が全て整数である」ことと等価 ( 必要十分条件 ) であることが分かります。
No.25355 - 2014/04/07(Mon) 00:10:06