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記事No.25354に関するスレッドです
★ 合同変換について / noirちゃん
お願いします。通信大学で勉強している７０代の、おばさんです。数学に、興味があります。合同変換の解き方を、ネットで、調べましたが、わかりません。
R1：回転の中心、原点、回転角６０°R2：回転の中心P（１、０）回転角６０°
とするとき、合成変換R2○R1は、どのような変換であるかを
もとめよ。です。合同変換は、どの分野に入りますか？
No.25317 - 2014/04/06(Sun) 09:09:26
☆ Re: 合同変換について / 黄桃
解き方というのがよくわかりませんが、合成変換R2○R1が合同変換であるとわかっているのなら、
(0,0),(0,1),(1,0) の行き先がわかれば、どんな変換かはわかりますね。

＃書き方からして、平面の話と思いましたが、3次元以上なら適当に正規直交基底を選んでください。
＃以下2次元として書きます。

R2○R1の意味が R1 をやってからR2をする、という意味とします。
すると、ベクトルt=(a,b)だけの平行移動をT(t), 原点回りのθの回転をR(θ)とかけば、
tを中心とするθ回転は、tを原点に平行移動し、原点回りのθ回転し、そのあと原点をtに平行移動する、という合成になりますから、T(t)R(θ)T(-t)　とかけます（合成の記号は略しました）。だから、全体では
T((1,0))R(60°)T((-1,0))R(60°)
ということになります。これを計算すればいいですね。
行列なり何なりの方法は習っているでしょう。

数学的には合同変換というのはあまり扱わない気がします。
平行移動がない、原点回りの回転だけとか回転＋原点を通る直線に関する反転とかなら一般化されています。

合同変換は数学よりは工学系（コンピュータビジョン？とかＣＧとか）で使うような気がします。
射影空間での1次変換として表現することが多いようです。
No.25339 - 2014/04/06(Sun) 19:40:13
☆ Re: 合同変換について / angel
合同変換というとアフィン変換の範疇でしょうか。
いずれにしても線形代数が必須でしょうね。

黄桃さんの焼き直しになりますが、以降、2次正方行列および2次元ベクトルを使うものとして、

「点P周りのθ回転」により点が移動する場合、
　(ｖ'-ｐ)=Ｒ(ｖ-ｐ)
という関係式が成立します。
※ｖ,ｖ'はそれぞれ移動前後の点の位置ベクトル、ｐは点Pの位置ベクトル、Ｒは回転に相当する行列 ( 要素: cosθ,-sinθ,sinθ,cosθ )

これを整理すると、
　ｖ'=Ｒｖ-Ｒｐ+ｐ=Ｒｖ-(Ｒ-Ｅ)ｐ
　※Ｅは単位行列
裏を返せば、
　ｖ'=Ｒｖ+ｑ
で表現される変換は、ｐ=-(Ｒ-Ｅ)^(-1)・ｑとすれば、ｐに対応する点を中心としたθ回転だということです。

では、今回の合成をR1→R2の順で施すものとして、60°回転に対応する行列をＱ1、120°回転に対応する行列をＱ2=Ｑ1^2とし、ｐ=t(1 0) としましょう。
※t(…) は転置(transposed)を表すものとして見てください

R1によりｖ1がｖ2へ、それがR2によりｖ3へ移るとします。
すると、
　ｖ2=Ｑ1ｖ1
　ｖ3=Ｑ1ｖ2-(Ｑ-Ｅ)ｐ=Ｑ2ｖ1-(Ｑ-Ｅ)ｐ
なので、合成変換R2・R1は、(Ｑ2-Ｅ)^(-1)・(Ｑ1-Ｅ)ｐを位置ベクトルとする点を中心とした、120°回転であることが分かります。
※実際に計算すると、この中心点は(1/2,-√3/6)になりました。
No.25346 - 2014/04/06(Sun) 20:56:52
☆ 図形的な解釈 / angel
> いずれにしても線形代数が必須でしょうね。
実は線形代数使わなくても、図形操作で説明できますね。試してみて自分で驚いたのですが…
※尤も、それを自力で思いつけるかというと…。やはり線形代数での計算結果が裏付けにあるからできたのですが。

で、添付の図をご覧ください。
上段のように、R1,R2によって、A→B→Cと点が移るものとします。

次に中段ですが、点Qを導入すると、OQB'Cは平行四辺形になります。ちなみに、Qとは、Pを60°回転させた後、OPP'Qが平行四辺形になるように構成した点です。
これにより、点Cが、点Bを60°回転 ( 点Aを120°回転 ) させた後、一定方向・距離に平行移動させた点であることが分かります。

そして下段。適切な点Xを設ければ、点Cが点Xを中心に点Aを120°回転した点となります。これは中段の話と丁度逆ですね。
なお、このXとは、△O'P'Q'と△OXQが相似になるように構成した点であり、Xを120°回転した点とO,X,Qの4点で平行四辺形ができるようになっています。

最後に、P,Q,Xの位置関係を計算します。
Qは、Pを120°回転させた点になっていて、
かつQはXを150°回転+√3倍に拡大した点 ( OQ=√3・OX ) でもあります。
※それぞれの平行四辺形の形状に着目。
つまり、XはPを120°回転した後-150°回転させ、1/√3倍に拡大 ( 縮小 ) させた点(1/2,-√3/6)です。
…ということで、ちゃんとNo.25346と結果が一致します。
No.25351 - 2014/04/06(Sun) 22:44:57
☆ 図形的な解釈-補足 / angel
おっと。「なぜ平行四辺形になるか」という点の証明を載せていませんでした。
一般化すると、添付の画像のような状況を考えたとき、

・扇形PAB, OAA', OPP'の中心角が全て等しく、
・かつ□OPP'Qが平行四辺形である時、
・□OBA'Qも平行四辺形である

と言えます。

これは、補助線A'P'を引けば一発でして。
まず△AOPと△A'OP'が2辺挟角相等で合同。なのでA'P'=AP=BP、∠OA'P'=∠OAP
で、OA,OA'のなす角、PA,PBのなす角が等しいことも加味すると、A'P'とBPは平行となります。
ということは、向かい合う辺A'P'・BPが、長さが等しくかつ平行なので、□A'P'PBは平行四辺形。
後は同じく、平行四辺形の性質として、A'B, P'P, QO これらは全て長さが等しくかつ平行。
ゆえに、□OBA'Qも平行四辺形である、ということになります。
No.25354 - 2014/04/06(Sun) 23:27:48