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記事No.25360に関するスレッドです
★ (No Subject) / さかなくん
やってみたのですが、何か間違ってますかね？
ちょっとまだわかりませんm(._.)m
No.25360 - 2014/04/07(Mon) 12:13:02
☆ No.25361の続きです。 / さかなくん
No.25361の続きです。
失礼しました。
No.25362 - 2014/04/07(Mon) 13:16:13
☆ Re: / みずき
写真では、
(a[n+1]+2)/(a[n+1]-2)=3(a[n]+2)/(a[n]-2)
と書かれていると理解しますが、
そもそもこの段階で正しくありません。
（「3」が正しくありません。）

おそらく、この「3」はr=3から来ていると思われます。

No.25331の

『一般に、
a[n+1]=(ra[n]+s)/(pa[n]+q)
は、
x=(rx+s)/(px+q)
の2解α、βを使って、

?@)α≠βのとき
(a[n+1]-α)/(a[n+1]-β)=γ(a[n]-α)/(a[n]-β)
(γは定数)

?A)α=βのとき（つまり重解のとき）
1/(a[n+1]-α)=γ+(1/(a[n]-α))

とそれぞれ表せます。』

におけるγは「ガンマ」と読み、r(アール)ではありません。

答えは、No.25357で書いたように
(a[n+1]+2)/(a[n+1]-2)
=5(a[n]+2)/(a[n]-2)
となります。

問題は、どうして「5」になるのか、ですね。
順を追って説明します。

まず、No.25331で書いた「公式」を知っているものとします。（なお、これを公式と呼ぶかについては疑問が
ありますが、ここでは便宜上そう呼ぶことにします。）

この公式を知っているとすれば、まず
x=(3x+4)/(x+3)
を解いてみよう、ということで、x=±2を得ます。
重解ではないので、

(a[n+1]+2)/(a[n+1]-2)=γ(a[n]+2)/(a[n]-2)
(γは定数)

という形に変形できるな、と分かるわけです。
『変形できること』が分かるだけで、
γ（ガンマ）の値がすぐにわかるわけではありません。

そこで、γ（ガンマ）の値を知るために、
与えられている漸化式：
a[n+1]=(3a[n]+4)/(a[n]+3)
を利用します。

a[n+1]+2
=(3a[n]+4)/(a[n]+3)+2
=(5a[n]+10)/(a[n]+3)
および
a[n+1]-2
=(3a[n]+4)/(a[n]+3)-2
=(a[n]-2)/(a[n]+3)
により、結局

(a[n+1]+2)/(a[n+1]-2)
=5(a[n]+2)/(a[n]-2)

と表せることが分かります。
つまり、γ（ガンマ）は5であると分かりました。
No.25363 - 2014/04/07(Mon) 16:59:52
☆ Re: / さかなくん
『一般に、
a[n+1]=(ra[n]+s)/(pa[n]+q)
は、
x=(rx+s)/(px+q)
の2解α、βを使って、

?@)α≠βのとき
(a[n+1]-α)/(a[n+1]-β)=γ(a[n]-α)/(a[n]-β)
(γは定数)

?A)α=βのとき（つまり重解のとき）
1/(a[n+1]-α)=γ+(1/(a[n]-α))

とそれぞれ表せます。』

上記は暗記しているもの（公式みたいなもの）なんですか？
なぜこちらが導き出せるか、考え方をしりたいのですが。
ありましたら教えてください。

それかNo25356みたいに、覚えるパターンの１つみたいなもんなんですか？

因みにNo25356もなぜこれがいえるのか？考え方があれば教えてください。

両方展開すれば最初の式になるのはわかるのですが、、、


両パターン意外にもこの公式みたいなのがありましたら
教えて頂ければ助かります。
No.25372 - 2014/04/08(Tue) 00:04:32
☆ Re: / みずき
まず、こちらが回答した分について、
理解したのか否かについて
書いてもらいたいものです。

＞上記は暗記しているもの（公式みたいなもの）なんですか？

個人的には、一つのテクニックのようなものだと
とらえています。

＞なぜこちらが導き出せるか、考え方をしりたいのですが。
ありましたら教えてください。

やってみてはいませんが、
たとえば、α≠βの場合は、
解と係数の関係によって、
α＋βとαβをp,q,r,sで表して、漸化式を利用して、
(a[n+1]-α)(a[n]-β)/{(a[n+1]-β)(a[n]-α)}
を計算すれば、うまいこと相殺されて定数が
得られるはずです。重解の場合も同様です。

＞No25356みたいに、覚えるパターンの１つみたいなもんなんですか？
はい、そう思います。
個人的には、頭の片隅におぼろげに入っている
程度のテクニックですが。

＞因みにNo25356もなぜこれがいえるのか？考え方があれば教えてください。

a[n+1]=pa[n]+q
α=pα+q
を左辺同士、右辺同士引くと
a[n+1]-α=p(a[n]-α)
が得られます。

＞両パターン意外にもこの公式みたいなのがありましたら
教えて頂ければ助かります。

（「意外」は「以外」であると解釈して・・・）
あります。しかし、それこそお手元のテキストの
数列の漸化式の欄に載っているはずです。
ここで、考えられるものをすべて書き込むのは
量が膨大になる上、一般的なテキストに載っているであろう
内容を写すようなことになるので、気が乗りません。
もし、適当なテキストがないという場合は、
1冊手元に置いておくべきだと思います。
No.25375 - 2014/04/08(Tue) 00:45:51
☆ Re: / さかなくん
失礼しました。
上記は理解しました。

みずきさんの公式と、私の公式と三項間漸化式の３タイプ
しか知りません。

膨大な量も？膨大な個数もあるんですか。。。
書籍は何冊もあるので探してみます。

一般的な所でいうと、上記３タイプで大まか事足りるんですかね？

調べてみます。
大変、ありがとうございました。
No.25378 - 2014/04/08(Tue) 01:32:40