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記事No.25385に関するスレッドです
★ (No Subject) / tt
連続ですいません。
2-5の問題です。
この問いで、pqの存在を仮定する⇒pqはただ一つに定まる

という答案はありでしょうか？なんか気持ち悪いのですが、、
No.25385 - 2014/04/08(Tue) 16:08:48
☆ Re: / みずき
「なし」だと思いますね。

『〜を満たす有理数p,qの組がただ1組存在する』ことを
証明するには、

（?@）『〜を満たす有理数p,qの組が存在する』
（?A）『1組しか存在しない』

の2点を示す必要があります。

ttさんが書かれた
「pqの存在を仮定する⇒pqはただ一つに定まる」
というのは、（?@）を仮定して（?A）を示すものです。
証明を完了させるには、（?@）そのもの
（ttさんの「仮定」そのもの）
を示す必要があると思います。

今のままでは、
「存在するなら、一つしか存在しない」
ということしか示せておらず、
「本当に存在するの？」という問いに答えられていないと
思います。
No.25386 - 2014/04/08(Tue) 16:26:21
☆ Re: / tt
回答ありがとうございます。
pqが存在することを示せないので教えてください。
No.25387 - 2014/04/08(Tue) 16:37:29
☆ Re: / みずき
p=-1/(c^2-ac+b)
q=(c-a)/(c^2-ac+b)
とすると、題意を満たすので（確認は省略します）
p,qは存在します。

ちなみに、c^2-ac+b≠0であることは、次のように分かります。

c^2-ac+b=0が成り立つとすると、
x^2+ax+b=0は2解α,-cを持つことになりますが、
解と係数の関係により、
-a=α-c⇔α=c-a
を導くので、矛盾です（左辺無理数、右辺有理数）。

どのように冒頭のp,qを見つけたかについて書きます。
p,qをa,b,cで表せないかな、というのが一つの目標でしょう。

αはx^2+ax+b=0の解なので、
α^2+aα+b=0⇔α^2=-aα-b　・・・(?@)
を満たします。

さて、
1/(α+c)=pα+q
⇔1=(pα+q)(α+c)
⇔1=pα^2+pcα+qα+qc
⇔1=p(-aα-b)+pcα+qα+qc （∵(?@)）
⇔α(-ap+pc+q)=1+pb-qc　・・・(?A)

ここで、-ap+pc+q≠0とすると、
(?A)の両辺を(-ap+pc+q)で割ることで、
α=(1+pb-qc)/(-ap+pc+q)
を得ますが、左辺が無理数で、右辺が有理数
となるので、不合理です。

よって、
-ap+pc+q=0
かつ
1+pb-qc=0
を得ます。

これから、冒頭のp,qを得ることができます。
No.25390 - 2014/04/08(Tue) 17:35:28