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記事No.25419に関するスレッドです
★ (No Subject) / tt
不等式の同値変形について

連立不等式について、同値変形をするとき、疑問に思うことがあります。

写真のように、連立不等式の同値変形で、条件を簡単にしようとしても、単に元の条件に新たな条件が付加されるだけで、条件を単純化することはできないように思うのですが、どうなのでしょうか？
No.25419 - 2014/04/13(Sun) 11:11:23
☆ Re: / らすかる
どういう「同値変形」を想定されているかわかりませんが、
例えば
a+b＞0 …?@
a-b＞0 …?A
だったら
?@から a＞-b …?B
?Aから a＞b …?C
?Bと?Cから
a＞|b| …?D
でありこれは逆も成り立つ。
よって
「?@かつ?A」⇔「?D」
で少し単純化されていると思います。

他には
a^2+b+1＞0 …?@
a^2-b+1＞0 …?A
だとすると
x＞0かつy＞0⇔x+y＞0かつxy＞0
という同値変形を使って
?@かつ?A⇔2(a^2+1)＞0かつ(a^2+b+1)(a^2-b+1)＞0⇔(a^2+1)^2-b^2＞0
となりますので
「?@かつ?A」⇔「(a^2+1)^2-b^2＞0」
と単純化されます。
No.25420 - 2014/04/13(Sun) 13:42:11
☆ これで答になっていますか？ / 黄桃
実数 a,b に関して、
f(a,b)=0
g(a,b)=0
という連立方程式を解け、
という場合、確かに、普通は
a=なんとか、b=なんとか
という形にすることを意味します。

実数aについて
h(a)>0
という不等式を解け、という場合も確かに
aの範囲　(1<a<2 など）
を求めることになります。

しかし、
f(a,b)>0
g(a,b)>0
という連立不等式がある場合、これは必ずしも
a の範囲、bの範囲
と同値にはなりません。つまり、
{(a,b)|f(a,b)>0 かつ g(a,b)>0}...(*)
がいつも必ず
{(a,b)| aだけの不等式による範囲、かつ bだけの不等式による範囲}...(**)
のようになるとは限りません。

なぜかといえば、(**)は図示すればわかるように
長方形の集まり
にしかすぎませんが、(*)は円の一部の場合も放物線と直線で囲まれている場合ももっと複雑な場合もあり、「簡単」にはならないからです。
(*)を囲むような長方形もどき（どっかが無限にいってもいい）ならあるかもしれませんが、それでは必要条件にしかなりません。

＃もちろん、a,b実数の時 「a+b>0 かつ ab>0」 ⇔「a>0 かつ b>0」 のように「簡単に」なる例もあります。

＃＃こうした連立不等式を「解く」場合、一般には答を図示するしかありません。
＃＃多分問題にも(a,b)のとりうる範囲を（ab平面に）図示せよ、というような指示があると思います。
No.25427 - 2014/04/13(Sun) 18:50:43