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記事No.25504に関するスレッドです
★ ベクトルの2乗、3乗の計算 / さかなくん
ベクトルの絶対値の2乗の外し方はどのように考えれば、理解しやすいでしょうか？
また、3乗の場合の外し方は合ってますでしょうか？
よろしくお願いします。
No.25490 - 2014/04/15(Tue) 19:26:35
☆ Re: ベクトルの2乗、3乗の計算 / みずき
> ベクトルの絶対値の2乗の外し方はどのように考えれば、理解しやすいでしょうか？

内積の定義にしたがって外すだけです。

|↑a+↑b|^2
=(↑a+↑b)・(↑a+↑b)
=↑a・↑a+↑a・↑b+↑a・↑b+↑b・↑b
=|↑a|^2+2↑a・↑b+|↑b|^2
No.25493 - 2014/04/15(Tue) 20:41:42
☆ Re: ベクトルの2乗、3乗の計算 / angel
ベクトルに関する || は、「絶対値」ではなく「ノルム」です。つまり、別物。
※このノルムのことを ||ｖ|| と表現したりもしますし…

あくまで、
　|ｖ| = √(ｖ・ｖ)　( ルートの中は内積 )
という関係 ( というか定義 ) に沿って粛々と計算するまでです。

|ａ+ｂ|^2 = |ａ|^2 + 2ａ・ｂ + |ｂ|^2
というのは、あくまで内積の性質からくる
(ａ+ｂ)・(ａ+ｂ) = ａ・ａ + 2ａ・ｂ + ｂ・ｂ
を書き換えたものに過ぎません。
No.25494 - 2014/04/15(Tue) 20:47:13
☆ Re: ベクトルの2乗、3乗の計算 / さかなくん
皆様ありがとうございます。

絶対値=ノルムと言う物なんですね。
a↑+b↑ノルムとは長さの事で考えて良いのですよね？
この写真の図の様に考えて大丈夫なのでしょうか？
No.25504 - 2014/04/16(Wed) 01:00:04
☆ Re: ベクトルの2乗、3乗の計算 / angel
> 絶対値=ノルムと言う物なんですね。
ええと「絶対値」という言葉から離れましょう。記号が絶対値と同じものを使うだけで、別物なのです。
※というか、「ベクトルの絶対値」というものは無いはず

高校範囲だと「ノルム」という言葉ではなく「(ベクトルの)大きさ」と表現するところでしょうが、さかなくんさんは高校生ではないですよね。( 勉強しているところが高校範囲だとしても )
用語の使い方は些細なことだと思われるかもしれませんが、少なくとも「○○と××は別物だ」という意識をはっきりさせる上では重要です。
ノルムのことを「絶対値」と言ってしまうと意識する/しないにかかわらず、絶対値の持つイメージと混同を起こし、さかなくんさんが3乗の計算として考えたような勘違いが生まれる余地を残します。
最初から、ノルム |ｖ|=√(ｖ・ｖ) と意識していれば、|ａ+ｂ|^3=( √((ａ+ｂ)・(ａ+ｂ)) )^3 以外にはならないはずだと思います。
No.25544 - 2014/04/17(Thu) 01:15:05
☆ Re: ベクトルの2乗、3乗の計算 / angel
> ノルムとは長さの事で考えて良いのですよね？
> この写真の図の様に考えて大丈夫なのでしょうか？
それは問題ないです。
※長さの単位cmをつけるか、という問題はともかく

以降は余談です。
実を言うと、高校範囲では「|ｖ|=√(ｖ・ｖ) がノルム(大きさ)の定義」とは習わないだろうと思います。
どちらかと言えば、図形的な観点からベクトルの大きさが決まって、ベクトル同士の角度もあわせて内積を定義すると、|ｖ|=√(ｖ・ｖ) という性質があることも分かる…、こういう話の流れになっているのではないでしょうか。

それはそれで、高校生用のストーリーではあるのですが、それに縛られる理由はないと思います。
先にベクトルがあって、内積が定義されていて、そこからノルムも定義されて、それをユークリッド平面/空間に当てはめたら、点同士の相対位置や、距離、直線同士の角度に丁度対応している…そう捉えられると、高校範囲を超えた話も受け入れやすくなると思います。
※高校でやるベクトルは、ベクトルを図形的な問題に活用するという、応用例の一つにすぎないのです
No.25545 - 2014/04/17(Thu) 01:36:50
☆ Re: ベクトルの2乗、3乗の計算 / さかなくん
ノルム |ｖ|=√(ｖ・ｖ)
数学は高校までしか学習がないもので。
覚えます。絶対値とは別な物なのですね。
ありがとうございました。
No.25554 - 2014/04/17(Thu) 17:36:41