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記事No.25507に関するスレッドです
★ 整数問題 / さかなくん
n=200のとき、この操作が終わった後、スイッチがonになっている電球の個数を答えなさい。

法則を見つけたのですが、約数の数が奇数の時はonなので
200までの素数の番号の電球ははoffだとわかりました、
4,9,16はonとわかりました。
そこで行きずまりました。
200まで数えなくて良い考え方を教えて下さい。
No.25503 - 2014/04/16(Wed) 00:37:40
☆ Re: 整数問題 / to
＞法則を見つけたのですが、約数の数が奇数の時はonなので
　(200までの素数の番号の電球ははoffだとわかりました、)
　4,9,16はonとわかりました。

●約数が奇数である数は、どんな数でしょうか？

　{1，4，9，16，25，36，･･･，121，169，196}
No.25505 - 2014/04/16(Wed) 01:01:29
☆ Re: 整数問題 / さかなくん
なるほど、
自然数の^2が約数の中心にくる数が奇数個になると考えれば良いんですね？
7^2,8^2,9^2,10^2・・・14^2なので１４個って考えれば
よいんですね？
No.25506 - 2014/04/16(Wed) 01:23:14
☆ Re: 整数問題 / さかなくん
この解説だとわかりません。
考え的には同じなんですかね？
互いに素が見かけるんですが、わかりません。
No.25507 - 2014/04/16(Wed) 01:26:32
☆ Re: 整数問題 / さかなくん
解説の続き写真
No.25508 - 2014/04/16(Wed) 01:27:37
☆ Re: 整数問題 / さかなくん
でも、今回答えが合っていたから良しでなくて、
もしかすると、約数が奇数の場合はこちらの場合だけ以外にある可能性があるので、それを確認する方法を考えなくては
いけないんですか？
No.25509 - 2014/04/16(Wed) 01:32:10
☆ Re: 整数問題 / みずき
> この解説だとわかりません。
> 考え的には同じなんですかね？

一般に
n=(p_1^a_1)(p_2^a_2)・・・(p_k^a_k)
（ただし、p_1<・・・<p_kはすべて素数）
と素因数分解できるとき、
nの正の約数の個数は
(a_1+1)*(a_2+1)*・・・*(a_k+1)
で与えられます。

今、
これが奇数なので
a_1,a_2,・・・,a_kはすべて偶数ですね。
a_iがすべて偶数なので、
n=N^2なる自然数Nが存在します。

ここから、nは平方数であることが導かれます。
No.25510 - 2014/04/16(Wed) 01:33:34
☆ Re: 整数問題 / みずき
> でも、今回答えが合っていたから良しでなくて、
> もしかすると、約数が奇数の場合はこちらの場合だけ以外にある可能性があるので、それを確認する方法を考えなくては
> いけないんですか？

このコメントを読む前にNo.25509を投稿してしまいました。
ところで、おっしゃっている意味がつかめません。
No.25511 - 2014/04/16(Wed) 01:35:27
☆ Re: 整数問題 / みずき
No.25511のコメント内の
｢No.25509を投稿してしまいました｣
は
｢No.25510を投稿してしまいました｣
の間違いでした。

なお、もし平方数以外にあるのか、という問いならば
ありません。

nの正の約数の個数が奇数であることと
nが平方数であることは同値です。
No.25512 - 2014/04/16(Wed) 01:42:04
☆ Re: 整数問題 / さかなくん
n=(p_1^a_1)(p_2^a_2)・・・(p_k^a_k)の所で、
アンダーバーの記号（_）はどう解釈する記号ですか？
勉強不足ですいません。
No.25513 - 2014/04/16(Wed) 01:57:36
☆ Re: 整数問題 / みずき
> n=(p_1^a_1)(p_2^a_2)・・・(p_k^a_k)の所で、
> アンダーバーの記号（_）はどう解釈する記号ですか？

添え字です。
p_1は紙に書く場合、pの右下に小さく1と書きます。

たとえば、数列の一般項をa_nと書くようなものです。
No.25514 - 2014/04/16(Wed) 02:06:38
☆ Re: 整数問題 / みずき
補足します。

p_1,p_2,・・・,p_k
(p_1<・・・<p_k)
というのは、素数がk個あるとき
小さい方から順に
p_1,p_2,・・・
としている、ということです。

p_iに対応する指数を、添え字を合わせて
a_iと書いています。
No.25516 - 2014/04/16(Wed) 02:23:28
☆ Re: 整数問題 / さかなくん
ありがとうございまさいた。
＞たとえば、数列の一般項をa_nと書くようなものです。
こちらでわかりました。

でわ、これからは、nの正の約数が奇数個ある場合は
約数にn=x^2が必ず含まれるという事で考えて問題ない
としまってよいんですね？

＞nの正の約数の個数は
＞(a_1+1)*(a_2+1)*・・・*(a_k+1)
こちらは初めて知りました。ありがとうございました。

互いに素とは、自分で調べてみます。
ありがとうございました。
No.25517 - 2014/04/16(Wed) 02:43:22
☆ Re: 整数問題 / みずき
> これからは、nの正の約数が奇数個ある場合は
> 約数にn=x^2が必ず含まれるという事で考えて問題ない
> としまってよいんですね？

x^2のxが何なのか、が分かりませんが
もし、xがnの素因数を表すのなら、そうとも言い切れません。
指数は2とは限らないからです。
たとえば、n=2^4×3^4=(2^2×3^2)^2=36^2も平方数です。
まとめると、n(≧2)が平方数であることと
nの任意の素因数が偶数個あることは同値である
ということです。
No.25518 - 2014/04/16(Wed) 02:56:35
☆ Re: 整数問題 / らすかる
どうも解説が難しく書かれているように思いますので
少し違う考え方を書いてみます。

p≦√nがnの約数である場合、n/pもnの約数ですから
基本的に(p,n/p)の組が作れます。
例えばn=12ならば
(1,12)(2,6)(3,4)の3組です。
そしてこの組が作れないのは
p=n/pの場合だけですから、
√nが約数である場合だけ、約数が奇数個になります。
No.25519 - 2014/04/16(Wed) 04:51:14
☆ Re: 整数問題 / さかなくん
ありがとうございました。
No.25550 - 2014/04/17(Thu) 14:53:45