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記事No.25573に関するスレッドです
★ (No Subject) / ヨウ
変形まではできましたが、すべての実数xに対して成り立つの条件とはなんですか？?@とX軸は無交點なんですか？
No.25573 - 2014/04/18(Fri) 20:26:25
☆ Re: / みずき
> 変形まではできましたが、すべての実数xに対して成り立つの条件とはなんですか？

(x-a-2)^2-a^2-4a+21＞0
まで変形できている、とします。
2乗の部分に着目すると、すべての実数xに対して
(x-a-2)^2≧0
が成り立ちますよね。

ですから、不等式○1がすべての実数xに対して成り立つためには、
-a^2-4a+21＞0
であれば良いことになります。

○1の左辺をxに関する2次関数（下に凸）とみて
頂点(a+2,-a^2-4a+21)
がx軸より上側(y＞0)にある条件と考えると
分かりやすいと思います。

> ?@とX軸は無交點なんですか？

「無交點」の意味が分かりません。
No.25574 - 2014/04/18(Fri) 20:38:50
☆ Re: / ヨウ
すいません。無交點　とは　○1はx軸との交点はないということです。
でも、間違いました。
先生。すみません。
第二問の答案は-15＜a<3です。解き方を教えていただけますか？-15の答案はできませんでした。
No.25591 - 2014/04/19(Sat) 23:47:35
☆ Re: / みずき
> 第二問の答案は-15＜a<3です。解き方を教えていただけますか？-15の答案はできませんでした。

頂点のx座標a+2とx=-1との大小によって
場合分けが必要です。

a+2<-1のときは、
放物線のx=-1のときのy座標が正であること
(-1)^2-2(a+2)*(-1)+25>0
すなわち、
-15<aが必要です。
まとめると、-15<a<-3

a+2=-1のときは、
放物線のx=-1のときのy座標が24>0
となって十分。

a+2>-1のときは、
放物線の頂点のy座標が正であることから
-a^2-4a+21>0
すなわち、
-7<a<3
まとめると、-3<a<3

以上により、
-15<a<-3 または a=-3 または -3<a<3
すなわち、
-15<a<3が答えです。
No.25592 - 2014/04/20(Sun) 00:09:07
☆ Re: / ヨウ
> > 第二問の答案は-15＜a<3です。解き方を教えていただけますか？-15の答案はできませんでした。
>
> 頂点のx座標a+2とx=-1との大小によって
> 場合分けが必要です。
>
> a+2<-1のときは、
> 放物線のx=-1のときのy座標が正であること
> (-1)^2-2(a+2)*(-1)+25>0
> すなわち、
> -15<aが必要です。
> まとめると、-15<a<-3
>
> a+2=-1のときは、
> 放物線のx=-1のときのy座標が24>0
> となって十分。
>
> a+2>-1のときは、
> 放物線の頂点のy座標が正であることから
> -a^2-4a+21>0
> すなわち、
> -7<a<3
> まとめると、-3<a<3
>

> 以上により、
> -15<a<-3 または a=-3 または -3<a<3
> すなわち、
> -15<a<3が答えです。


理解できないのはなぜ頂点のx座標a+2とx=-1との大小によって
場合分けが必要であることです。
No.25598 - 2014/04/20(Sun) 19:29:27
☆ Re: / みずき
> 理解できないのはなぜ頂点のx座標a+2とx=-1との大小によって
> 場合分けが必要であることです。

本問の場合、場合分けは避けられないと思います。
理由を述べます。

説明を簡単にするために、○1の左辺をf(x)とおきます。
y=f(x)はxに関する2次関数で、頂点は(a+2,-a^2-4a+21)
であることに注意してください。

ひとつ前の私のコメント(No.25592)を簡潔に書くとすると、
a+2<-1のとき、f(-1)>0が必要で十分
a+2=-1のとき、十分。
a+2>-1のとき、f(a+2)>0が必要で十分
となりますね。

本問で場合分けが避けられない（と少なくとも私が思う）
理由は、見てお分かりいただけるとおり、
a+2<-1のときとa+2>-1のときとで
必要十分となる条件が異なるから、です。
（グラフを考えると分かりやすいと思います。
a+2<-1のときは、頂点に関する条件は関係なくなり、
一方、a+2>-1のときは、頂点に関する条件のみが必要）

条件が異なってしまう以上、場合分けを
せざるを得ないと思います。
以上が、本問で場合分けが必要である（と私が思う）理由です。
No.25600 - 2014/04/20(Sun) 21:02:03
☆ Re: / ヨウ
ありがとうございます。わかりました。
No.25601 - 2014/04/20(Sun) 22:45:50