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記事No.25581に関するスレッドです
★ (No Subject) / ヒキニート
微分の問題です。難易度はそんなに高くないハズなのにできません。
No.25581 - 2014/04/19(Sat) 14:59:06
☆ Re: / X
0＜x＜1 (A)
とします。
(1)
f'(x)=a/x-(1-a)/(1-x)={a(1-x)-(1-a)x}/{x(1-x)}
=(a-x)/{x(1-x)}
∴aの値についての場合分けが必要です。
(i)a≦0のとき
(A)の範囲で
f'(x)＜0
となりますのでf(x)の最大値は存在しません。
(ii)1≦aのとき
(A)の範囲で
f'(x)＞0
となりますのでf(x)の最大値は存在しません。
(iii)0＜a＜1のとき
f(x)はx=aのときに極大となりますので
増減表を描くことにより求める最大値は
f(a)=aloga+(1-a)log(1-a)

以上から求める最大値は
0＜a＜1のときaloga+(1-a)log(1-a)
a≦0,1≦aのとき存在せず

(2)
(1)の結果により
g(a)=aloga+(1-a)log(1-a)
と置いて
0＜a＜1
の範囲で増減表を描くことを考えます。
g'(a)=loga+1-log(1-a)-1=log{a/(1-a)}
∴g(a)はa=1/2で極小となりますので
増減表により求めるaの値は
a=1/2
となります。
No.25588 - 2014/04/19(Sat) 20:27:06