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記事No.25614に関するスレッドです
★ 三角関数の実数解条件 / ハレゾラ(浪人)
問題
　次のx,yの連立方程式
　　cosx+2cosy=a
　　sinx+2siny=b
が実数解をもつための条件をa,bを用いて表せ。

この問題の解答途中で
　　cosy=1/2(a-cosx)…?@
　　siny=1/2(b-sinx)…?A
と変形したあと、実数yが存在するための必要十分条件がcos^2y+sin^2y=1に?@?Aを代入した式になるのはなぜですか？

自分は弧度法から、yは半径1の円の弧の長さだからこれが実数で存在？？などと考えてみたのですが…いまいちイメージがわきません。
どの定義まで考えればいいですか？？
お願いします。
No.25602 - 2014/04/20(Sun) 23:51:37
☆ Re: 三角関数の実数解条件 / らすかる
> 実数yが存在するための必要十分条件がcos^2y+sin^2y=1に?@?Aを代入した式になるのはなぜですか？

yが存在すれば(cosy)^2+(siny)^2=1は成り立ちます。
(cosy)^2+(siny)^2=1を満たすcosy,sinyが存在すればyが存在します。
よって「cos^2y+sin^2y=1に?@?Aを代入した式」は「実数yが存在するための必要十分条件」となります。
No.25604 - 2014/04/21(Mon) 00:15:08
☆ 別解(図形/ベクトル) / angel
別解です。参考まで。

(cosx,siny)という長さ1のベクトルと(2cosy,2siny)という長さ2のベクトルの和と考えれば、三角不等式が活用できます。

添付の図において、OP=1, PQ=2 で、Qはまた(a,b)にも一致します。
で、O,P,Qが一直線上に来る場合も含め、三角不等式は
　|OP-PQ|≦OQ≦OP+PQ
つまり、1≦OQ=√(a^2+b^2)≦3

これは必要条件です。なので、十分条件を吟味する必要があります。
が、1≦OQ≦3であれば、Qはどこにあっても構いません。
※「構いません」というのは、適切なx,yによってOP=1,PQ=2とできるということ
これは、一例作ってみて、Qの場所に応じて原点周りに回転してみればわかります。

ということで、結局必要十分条件は 1≦√(a^2+b^2)≦3、ルートを外して 1≦a^2+b^2≦9 です。
No.25614 - 2014/04/21(Mon) 22:11:58
☆ Re: 三角関数の実数解条件 / ハレゾラ(浪人)
回答ありがとうございます。

らすかるさんへ
ですが、まだいまいちつかめていないです。
そもそも
　　　?T実数yが存在するならば(cosy)^2+(siny)^2=1
　　　?U(cosy)^2+(siny)^2=1ならば実数xが存在する
を証明するにはどうしたらいいんですか？？
※質問におけるyをxに変えました。


angelさんへ
cosx+2cosy=2,siny+cosy=2を満たす実数xyが存在する
⇒△OPQが存在する(O,P,Qが一直線上である場合も含む)

△OPQが存在する(O,P,Qが一直線上である場合も含む)
⇔三角不等式1≦OQ≦3が成り立つ

　
一方
三角不等式1≦OQ≦3が成り立つ
⇒
cosx+2cosy=2,siny+siny=2を満たす実数xyはOP=1,PQ=2となるようにPをとれば必ず存在する

というような感じでしょうか？
No.25619 - 2014/04/21(Mon) 23:23:06
☆ Re: 三角関数の実数解条件 / らすかる
> ?T実数yが存在するならば(cosy)^2+(siny)^2=1

(cosy,siny)は単位円上の点ですから(cosy)^2+(siny)^2=1です。

> ?U(cosy)^2+(siny)^2=1ならば実数xが存在する

(cosy,siny)は単位円上の点ですからyが存在します。
No.25657 - 2014/04/23(Wed) 05:13:32
☆ Re: 三角関数の実数解条件 / ハレゾラ
らすかるさんへ

三角関数の定義で(cosy,siny)が単位円上の点であることを考えればよかったのですね。

何度もありがとうございました。
No.25659 - 2014/04/23(Wed) 21:10:52