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記事No.25749に関するスレッドです
★ ベクトル 平面図形 / マルコメX
証明方法が思い付きません。解説お願いします。
No.25749 - 2014/05/01(Thu) 08:39:59
☆ Re: ベクトル 平面図形 / ヨッシー
天秤法を使えば、すぐ出ますが、ここでは面積比のみで示してみます。
　ＢＥ：ＥＡ＝１：ａ
　ＣＤ：ＤＡ＝１：ｂ
とおきます。
　△ＢＣＧ：△ＡＣＧ＝１：ａ　・・・(i)
　△ＢＣＧ：△ＡＢＧ＝１：ｂ　・・・(ii)
より
　△ＡＢＧ：△ＡＣＧ＝ｂ：ａ　→　ＢＨ：ＨＣ＝ｂ：ａ
（※ここまではチェバの定理を使っても出せます）

ここで、
　△ＡＢＧ：△ＡＣＧ：△ＢＣＧ＝ｂ：ａ：１
であるので、
　△ＡＢＧ＝＜ｂ＞、△ＡＣＧ＝＜ａ＞、△ＢＣＧ＝＜１＞
とおきます。
　△ＡＥＧ＝{a/(a+1)}△ＡＢＧ＝＜ab/(a+1)＞
　△ＡＤＧ＝{b/(b+1)}△ＡＣＧ＝＜ab/(b+1)＞
よって、
　四角形ＡＥＧＤ＝△ＡＥＧ＋△ＡＤＧ＝＜ab(a+b+2)/(a+1)(b+1)＞　・・・(iii)
一方、△ＡＢＣ＝＜ａ＋ｂ＋１＞ に対し、
　△ＡＥＤ＝{a/(a+1)}{b/(b+1)}△ＡＢＣ＝＜ab(a+b+1)/(a+1)(b+1)＞　・・・(iv)
(iii)(iv) より、
　ＡＧ：ＡＦ＝(a+b+2)：(a+b+1)　・・・(v)

また、
　△ＢＨＧ＝{b/(a+b)}△ＢＣＧ＝＜b/(a+b)＞
より、
　△ＡＢＧ：△ＢＨＧ＝(ａ＋ｂ)：１　→　ＡＧ：ＡＨ＝(ａ＋ｂ)：(ａ＋ｂ＋１)　・・・(vi)
（※これは、メネラウスの定理を使っても出せます）
(v)(vi) より、
　1/AG：1/AF：1/AH＝(a+b+1)：(a+b+2)：(a+b)
　1/AG：(1/AF＋1/AH)＝(a+b+1)：(2a+2b+2)＝１：２
となり、
　1/AF＋1/AH＝2/AG
が成り立ちます。
No.25750 - 2014/05/01(Thu) 10:14:28
☆ Re: ベクトル 平面図形 / マルコメX
あ！なるほど！面積比でこんな鮮やかに解けるとは。。。！
ありがとうございます。
この問題は私の通ってる医系予備校のテキストのベクトルの項目にあった問題でしたが、全然分かりませんでした。。。。
ちなみに「天秤法」とは何でしょうか？？
初めて聞きました！
No.25751 - 2014/05/01(Thu) 16:32:11
☆ Re: ベクトル 平面図形 / ヨッシー
天秤法については、こちらの記事で触れています。

この問題の場合、先程と同様に、ａ，ｂ を置きます。

図において、線分ＡＢを竿に見立てて、Ｅで吊るすとします。
この天秤の両端Ａ，Ｂに、どれだけのおもりを吊るせば釣り合うかを
考えると、支点からの距離の逆比で、Ａに１、Ｂにａを吊るせば、
釣合います。これを、各点に（１）（ａ）と書き込みます。
同様に、ＡＣにおいて、Ａ（１）、Ｃ（ｂ）です。
ここで、Ａの数字がともに同じ（違ったら何倍かして揃える）とき、
線分ＢＣについても、天秤が成り立っており
　ＢＨ：ＣＨ＝ｂ：ａ
となります。


さらに、Ｄ，Ｅ，Ｈ には、両端のおもりと釣り合うだけの
逆の力が働きます（要するに両端の和です）。
これを書き込むと、図より、
　ＢＧ：ＧＤ＝（ｂ＋１）：ａ
　ＣＧ：ＧＥ＝（ａ＋１）：ｂ
　ＡＧ：ＧＨ＝（ａ＋ｂ）：１
が得られます。


さらに、ＤＥを結んだ図を考えると、
　ＥＦ：ＦＤ＝（ｂ＋１）：（ａ＋１）
　ＡＦ：ＦＧ＝（ａ＋ｂ＋１）：１
までも得られます。
No.25752 - 2014/05/01(Thu) 17:45:48
☆ Re: ベクトル 平面図形 / ヨッシー
ベクトルというタイトルを見逃していました。
一応、ベクトルで解くと以下のとおりです。
　ＡＥ＝ａＡＢ、ＡＤ＝ｂＡＣ
とおきます。（上の場合と、置き方が異なります）
このとき、実数ｓ，ｔに対して、
　ＡＧ＝ｓＡＢ＋(１−ｓ)ＡＤ＝ｓＡＢ＋(１−ｓ)ｂＡＣ
　ＡＧ＝ｔＡＥ＋(１−ｔ)ＡＣ＝ｔａＡＢ＋(１−ｔ)ＡＣ
ＡＢとＡＣは一次独立なので、
　ｓ＝ｔａ
　（１−ｓ）ｂ＝１−ｔ
これを解いて、
　ｓ＝(a-ab)/(1-ab)、ｔ＝(1-b)/(1-ab)
よって、
　ＢＧ：ＧＤ＝(１−ｓ)：ｓ＝(1-a)：a(1-b)
　ＣＧ：ＧＥ＝ｔ：(１−ｔ)＝(1-b)：b(1-a)
より、
　ＡＧ＝{(a-ab)/(1-ab)}ＡＢ＋{(b-ab)/(1-ab)}ＡＣ

ＨはＡＧ上の点であるので、
　ＡＨ＝ｕＡＧ＝ｕ{(a-ab)/(1-ab)}ＡＢ＋ｕ{(b-ab)/(1-ab)}ＡＣ
また、ＨはＢＣ上の点であるので、係数の和が１となり
　ｕ{(a-ab)/(1-ab)}＋ｕ{(b-ab)/(1-ab)}＝１
　ｕ(a+b-2ab)/(1-ab)＝１
よって、　
　ｕ＝(1-ab)/(a+b-2ab)

ＦはＡＧ上の点であるので、
　ＡＦ＝ｖＡＧ＝ｖ{(a-ab)/(1-ab)}ＡＢ＋ｖ{(b-ab)/(1-ab)}ＡＣ
　　　　＝ｖ{(1-b)/(1-ab)}ＡＥ＋ｖ{(1-a)/(1-ab)}ＡＤ
また、ＦはＤＥ上の点であるので、係数の和が1となり
　ｖ{(1-b)/(1-ab)}＋ｖ{(1-a)/(1-ab)}＝１
　ｖ(2-a-b)/(1-ab)＝１
よって、
　ｖ＝(1-ab)/(2-a-b)
以上より、ＡＧ＝ｋ　とおくと、ＡＨ＝(1-ab)ｋ/(a+b-2ab)、ＡＦ＝(1-ab)ｋ/(2-a-b)
１／ＡＧ＝１／ｋ、１／ＡＨ＝(a+b-2ab)/(1-ab)k、１／ＡＦ＝(2-a-b)/(1-ab)k
となり、
　1/AH＋1/AF＝(1/k){(a+b-2ab)＋(2-a-b)}/(1-ab)
　　＝(1/k)(2-2ab)/(1-ab)＝2/k＝2/AG
となります。
No.25753 - 2014/05/01(Thu) 18:10:13
☆ Re: ベクトル 平面図形 / マルコメX
天秤法の解説、御丁寧にありがとうございました！
まさに天秤のように釣り合いをとると、さらに辺の比が芋づる式に出てくるので、目からウロコでした。
ベクトルでの別解もありがとうございました！
No.25756 - 2014/05/01(Thu) 18:44:07