同値変形でここまできたのですが、これって詰んでますか？
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No.25770 - 2014/05/03(Sat) 11:43:42
| ☆ Re: / みずき | | | 次のようにできると思います。
R(X,Y)とおいて、α、βをX,Yで表してみます。
α+β=2X,kαβ=Y
ところで、α=0とすると○1から不合理を導く。
β=0としても○2から不合理を導く。
よって、α≠0、β≠0
○1
⇔1/2+k*(kα)*(α+β)=0
⇔1/2+k*(Y/β)*(2X)=0
⇔β=-4kXY
○2
⇔3/4+k*(kβ)*{α+(α+β)}=0
⇔3/4+k*(Y/α)*(α+2X)=0
⇔(3+4kY)α=-8kXY
（3+4kY=0とすると、X=0からβ=0を
導き不合理。よって、3+4kY≠0だから）
⇔α=-8kXY/(3+4kY)
以上により、α、βをX,Yで表せました。
よって、
2X=α+β
⇔2X=-8kXY/(3+4kY)+(-4kXY)
⇔2X(4kY+1)(2kY+3)=0
（X=0とするとβ=0となり不合理だからX≠0）
⇔(4kY+1)(2kY+3)=0
⇔Y=-1/(4k),-3/(2k)
（k=0とするとβ=0となり不合理だからk≠0）
Y=-1/(4k)のとき、α=β=Xとなり
Y=kαβからX^2=-1/(4k^2)を導くが、
これを満たす実数Xは存在せず不適。
Y=-3/(2k)のとき、α=-4X,β=6Xとなり
Y=kαβからX^2=1/(16k^2)を導く。
これを解いて、X=±1/(4|k|)
ところで、α＜βなので、
-8kXY/(3+4kY)＜-4kXY ・・・A
を満たしている必要がある。
(X,Y)=(1/(4|k|),-3/(2k))の場合、任意のk(≠0)に対してAが成立して十分。
(X,Y)=(-1/(4|k|),-3/(2k))の場合、Aを満たす実数kは存在せず不適。
以上により、R((α+β)/2,kαβ)=(1/(4|k|),-3/(2k))
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No.25773 - 2014/05/03(Sat) 17:00:14 |
| ☆ Re: / IT | | | （別解）やはりα、βを求めます
t=k^2とおく ※表記を簡単にするためです
tα^2+ tαβ+1/2=0 …(1)
tβ^2+2tαβ+3/4=0 …(2)
t=k^2≧0でありt=0は不適なのでt＞0である。またαβ＜0であるからα＜βよりα＜0＜βである。
(1)より-tα^2= tαβ+1/2,(2)より-tβ^2=2tαβ+3/4
辺辺掛け合わせると (t^2)(α^2)(β^2)=(tαβ+1/2)(2tαβ+3/4)
展開して整理し(t^2)(αβ)^2+(7/4)tαβ+3/8=0
(tαβ+1/4)(tαβ+3/2)=0 よってαβ=-1/(4t),-3/(2t)…(3)
(2)より,tαβ=-3/4-tβ^2≦-3/4,αβ≦-3/(4t)
よって(3)よりαβ=-3/(2t)
これを(1),(2)に代入
tα^2-3/2+1/2=0,よってα^2=1/t,α＜0なのでα=-1/|k|
tβ^2-3+3/4=0,よってβ^2=9/(4t),β＞0なのでβ=3/(2|k|)
このα、βは(1),(2),α＜βをみたす。（αβ=-3/(2t)なることを確認すればいい）
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No.25776 - 2014/05/03(Sat) 19:36:27 |
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