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記事No.25803に関するスレッドです
★ 二次曲線、証明問題 / 由希
立て続けにもう１問、どうしても分からない問題があったので失礼します
どのように解けばよいのでしょう？

円Ｃと直線ｌが異なる２点で交わっている。
このとき、円Ｃと直線ｌの両方に接する円の中心はすべて一つの放物線上にあることを示せ。
No.25803 - 2014/05/05(Mon) 19:48:22
☆ Re: 二次曲線、証明問題 / みずき
円C：x^2+(y-1)^2=r^2 (r＞1)
直線l：y=0
としても一般性を失いません。

条件を満たす円をC'とすると、C'の方程式は、
(x-a)^2+(y-b)^2=b^2 (b≠0)
と表せます。

b＜0のとき、2円C,C'は内接するから、
r-|b|=√{(a-0)^2+(b-1)^2}
b＞0のとき、2円C,C'は外接するから、
r+|b|=√{(a-0)^2+(b-1)^2}

よって、bの正負にかかわらず
r+b=√{(a-0)^2+(b-1)^2}
両辺を2乗して整理すると
b=a^2/(2r+2)+(1-r^2)/(2r+2)
よって、円C'の中心(a,b)はある放物線上にあることが分かります。

# 追記します。

題意を満たす放物線は2つありますね。
上で導いた放物線は下に凸でしたが、
次のように上の凸の放物線もありますね。

b＜0のとき、2円C,C'が外接し、
r+|b|=√{(a-0)^2+(b-1)^2}
b＞0のとき、2円C,C'が内接し、
r-|b|=√{(a-0)^2+(b-1)^2}

よって、bの正負にかかわらず
r-b=√{(a-0)^2+(b-1)^2}
両辺を2乗して整理すると
b=a^2/(2-2r)+(1-r^2)/(2-2r)
これはr＞1⇔2-2r＜0により上に凸です。
No.25806 - 2014/05/05(Mon) 20:18:54
☆ Re: 二次曲線、証明問題 / 由希
ありがとうございます！
丁寧でよく解りました！
No.25809 - 2014/05/05(Mon) 22:29:31