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記事No.25892に関するスレッドです
★ (No Subject) / ００ｍ
lx−２ｌ>2x-1・・?@など、lf(x)l>g(x)の解法についてですが
2x-1の正負について場合わけをして
負のときは常に成立
０以上のときは２ｘ−１が正のとき
x-2の正負で場合分け

が参考書に載っていました。
しかし沢山の問題を経験してみると
ｇ（ｘ）の正負にかかわらず
ｆ（ｘ）＜−ｇ（ｘ）、ｇ（ｘ）＜ｆ（ｘ）・・?A
二なるのではないかと思ったのですがどうなのでしょうか？
少なくとも、?@のように両辺ともに一次式のとき、
?Aのようにいきなりやって、場合わけして求めた答えと食い違う、という結果になったケースを未だ見たことがありません。
これは単なる偶然なのでしょうか。

よろしくおねがいします
No.25890 - 2014/05/13(Tue) 22:16:40
☆ Re: / ００ｍ
4行目は
「２ｘ−１が０以上のとき」のみでした

8行目はｇ（ｘ）の正負にかかわらず、ではなく
「ｇ（ｘ）で場合わけをしなくとも」
の間違いでした
No.25891 - 2014/05/13(Tue) 22:20:20
☆ 真理値表で整理 / angel
> これは単なる偶然なのでしょうか。

なかなか鋭いですね…。確かにこれは偶然ではありません。
f(x)やg(x)が一次式かどうかに関わらず、です。

ただまあ、?Aでやると一見間違いに見える ( 説明を追加しないと正しいとは分かってもらえない ) ため、解答には使い辛いでしょうが。

こういう時は真理値表というものを整理すると状況が見えてきます。
まず、|f(x)|＞g(x)というのを素直に考えると、
　・f(x)≧0 の時 f(x)＞g(x)
　・f(x)≧0 でない ( f(x)＜0 の ) 時 -f(x)＞g(x) ( つまり f(x)＜-g(x) )
という場合分けになります。
なので、
　A: f(x)≧0
　B: f(x)＞g(x)
　C: f(x)＜-g(x)
この3条件の組み合わせがどうなっていれば元の問題の条件を満たすか、真(T)もしくは偽(F)だけで取り敢えず整理できるのです。そのための道具が真理値表。

同じように、「f(x)＞g(x) または f(x)＜-g(x)」も真理値表でまとめられます。
※条件Aは関係ありませんが、上と揃えて書いてみます。

ということで、まとめた結果は添付の図をご覧ください。
例えば、ですが、A:T,B:T であれば、f(x)≧0 かつ f(x)＞g(x) の状況を表しますから、C に関わらず |f(x)|＞g(x) の解の条件を満たす ( Tになる )、そういう風なことでT/Fをつけていきます。
?Aの状況の場合は、条件Aは無視して、B,CのどちらかがTの所がTになる、といった具合です。

で、比較してみると、色をつけたところに食い違いが生じます。なので、一見、?Aは間違いではないかと思うわけです。
ところが、その食い違いが出ている所をよくよく見ると…
一つは、A:T,B:F,C:T ですね。つまり、f(x)≧0 かつ f(x)≦g(x) かつ f(x)＜-g(x) という条件です。
これは、実は起こりえないケースなんですね。なぜかというと、f(x)≦g(x)かつf(x)＜-g(x)という時点で、f(x)が必ず負であることが決定してしまうからです。

同じように、A:F,B:T,C:Fのケースも起こりえません。

ということで、一見条件が食い違う部分は、実は起こりえないケースなので、結果的に影響がない、結局

　|f(x)|＞g(x) ⇔ f(x)＜-g(x) または g(x)＜f(x)

は正しい、となります。
No.25892 - 2014/05/13(Tue) 23:04:57
☆ Re: / halt0
|a|≦b のとき, とくに b≧0 であることに注意すれば,
|a|≦b ⇔ -b≦a≦b
が言えます. 左辺と右辺をそれぞれ否定することで
|a|>b ⇔ a<-b または b<a
となります.
No.25896 - 2014/05/14(Wed) 02:06:22
☆ Re: / ００ｍ
ありがとうございます。やっぱり偶然じゃないのですね。
実は簡単にｌAｌ>B⇔A<-BorB<Aの説明が雑誌に載っているのをさっき見つけたのですが、合っていますでしょうか？

B＜０のときはlAl>Bは必ず成り立ちますが、A<−B,B<Aも成り立ちます、とあり。
二本の数直線が書かれており、

B＜０のとき
上段には−Bより小さい部分に色が塗られた数直線
下段にはBより大きい部分に色が塗られた数直線がかかれています。
上下重ねてみたら全ての数を網羅してるので
Aは上段か下段の色を塗った部分のどちらかに必ず
属しなくてはいけない。つまり
A＜−BかB<Aのどちらかは必ず成り立つという理屈です。
どうなのでしょうか？
No.25911 - 2014/05/14(Wed) 21:08:14
☆ Re: / halt0
B<0 の場合の説明としては, その方法でもいいと思います. (余計かもしれませんがもし数直線を書かずに (本質的に) 同じ説明をするなら, 「B<0 のとき, B<-B である. ここで A<-B でない, すなわち -B≦A であるとすると, B<-B≦A より B<A が成り立つ. 以上より B<0 のとき A<-B または B<A が成り立つ.」といった感じになるでしょう.)
No.25939 - 2014/05/15(Thu) 23:42:29
☆ Re: / angel
halt0さんの
　|A|≦B ⇔ -B≦A≦B
の否定形を作る方法が分かり易いですが、

|A|=max(A,-A) とみなすことで、
　|A|＞B
　⇔ max(A,-A)＞B
　⇔ A＞B または -A＞B
とするのも楽に書けて良いかもしれませんね。
No.25940 - 2014/05/16(Fri) 00:05:14