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記事No.26029に関するスレッドです
★ (No Subject) / tt
次のような問題に帰着したのですが、ここからとけるでしょうか？
No.26029 - 2014/05/19(Mon) 23:30:26
☆ Re: / IT
k=-2,2√3のときの２つの円のどちらかで囲まれる領域と一致するようですね。
No.26033 - 2014/05/20(Tue) 01:56:45
☆ Re: / みずき
次のようにできると思います。

扱いやすいように、θだけ回転させます。
ただし、cosθ=1/√5,sinθ=2/√5

x=(2Y+X)/5, y=(Y-2X)/√5
を代入して整理すると
(X+√5k/2)^2+Y^2=5k^2/4+5

ここで改めて、Xをxに、Yをyにそれぞれします。

よって、求める面積は、
k=2√3の円とx軸との交点のうちx座標の小さい方から、
k=-2の円とx軸との交点のうちx座標の大きい方までの
範囲の積分で、
2∫[x=-√15-2√5,√5+√10]f(x)dx
で与えられます。
ただし、f(x)はxを固定したときのyの（正の）最大値を表します。

y=√(-x^2-√5kx+5)
の√の中身は、xを固定したときkの一次関数だから、
x＜0のとき、√の中身はk=2√3のときに最大となり、
x＞0のとき、√の中身はk=-2のときに最大となります。

よって、求める面積は、
2∫[x=-√15-2√5,0]√(-x^2-2√15x+5)dx+2∫[x=0,√5+√10]√(-x^2+2√5x+5)dx
=2(5√3/2+25π/3)+2(5/2+15π/4)
=5+5√3+145π/6
No.26034 - 2014/05/20(Tue) 02:41:46
☆ Re: / みずき
すみません。訂正します。

誤　x=(2Y+X)/5, y=(Y-2X)/√5

正　x=(2Y+X)/√5, y=(Y-2X)/√5
No.26035 - 2014/05/20(Tue) 03:07:36
☆ Re: / らすかる
円はkによらずP(2,1)とQ(-2,-1)を通り、
k=2√3のときの円Oは∠POQ=60°なので
直線PQより上側の面積は
(円Oの面積)×(5/6)＋(△OPQの面積)=(50/3)π+5√3
k=-2のときの円O'は∠PO'Q=90°なので
直線PQより下側の面積は
(円O'の面積)×(3/4)＋(△O'PQの面積)=(15/2)π+5
合計(145/6)π+5√3+5
のようにも計算できます。
No.26045 - 2014/05/20(Tue) 07:51:56