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記事No.26877に関するスレッドです
★ (No Subject) / tt
これでP(Sk=r)を直接求めるのは無理でしょうか。
No.26877 - 2014/06/14(Sat) 16:11:44
☆ Re: / angel
いや、多分できます。

おそらく
　P(Sk=r)
　= nCr/n^k・( r^k - rC1・(r-1)^k + rC2・(r-2)^k - … + (-1)^(r-1)・rC(r-1)・1^k )
　= nCr/n^k・Σ[i=0,r-1] (-1)^i・rCi・(r-i)^k
になると思います。
※いくつかのケースを計算すると、この式で丁度あっているので「思います」としています。
　少なくとも、これより込み入った形ですが、Σを繰り返す形で表すことはできます。

もちろん、この形で表せたとして、今回の問題へのアプローチとしてどうかという話は置いとくものとします。
No.26890 - 2014/06/15(Sun) 00:05:18
☆ Re: / tt
このΣってどう計算するのでしょう。
いま悪戦苦闘してますが、、、
とけますかね？
No.26911 - 2014/06/15(Sun) 12:46:44
☆ Re: / angel
> このΣってどう計算するのでしょう。
Σには「複数の項を足し合わせる ( 総和 )」以上の意味はありません。なので、素直に足してください。

確かに高校で出てくるΣには、より単純な形に整理できるもの ( 例えば Σ[k=1,n] r^(k-1) = (r^n-1)/(r-1) とか Σ[k=1,n] k=1/2・n(n+1) とか ) が多いです。
なので、もしかしたら「Σは必ずΣを含まない形に整理すべきもの」と思ってしまうかも知れませんが…
※「とけますかね？」という言葉にそういう含みを感じます

それ以上簡単にできない例も実際にはたくさんありますし、今回の例もそうです。
※簡単な形に整理しようとする心意気は良いです
No.26916 - 2014/06/15(Sun) 15:35:11
☆ 一例 / angel
例を挙げます。
n=5, k=4, r=3 の場合を考えてみましょう。
つまり、5枚のカードを4回引いたら3種類のカードが出る、という場合の確率ですね。

・手で数えて答えを出す場合
　1種類目のカードをa、2種類目をb、3種類目をcとした場合、
　カードの出方は、
　　aabc, abac, abbc, abca, abcb,abcc
　の6パターンです。
　ここで、a,b,cの組み合わせは 5P3=5×4×3=60通りあるため、カードの出方は60×6=360通り
　結局確率は、360÷5^4 で計算できます。

・私の挙げた式から計算する場合
　5C3 / 5^4 ・Σ[i=0,3-1] (-1)^i・3Ci・(3-i)^4
　= 10/5^4・( 3C0・3^4 - 3C1・2^4 + 3C1・1^4 )
　= 10/5^4・( 81 - 48 + 3 )
　= 360/5^4

ということで両者はちゃんと一致しています。

結局のところ、この計算の一番の肝は 1^k,2^k,…,r^k に係数をかけて足し引きするところなので、一般の式としてはΣを使った形以上に簡単にはならないのです。
No.26918 - 2014/06/15(Sun) 15:48:30