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記事No.2692に関するスレッドです
★ 高2 / NnA
○次の曲線で囲まれた図形を図示し、その面積を求めよ。
(1)y=x(x-2)(x-3), x軸
(2)y=sinx, y=cos2x (0≦x≦π), x=0, x=π
(3)y=((2x)/(1+x^2)), y=x

○次の曲線で囲まれた図形をx軸の周りに回転してできる回転体の体積を求めよ。
(1)y=(1/(x+1)), x軸, y軸, 直線x=2
(2)y=sinx (0≦x≦π), x軸
(3)y=logx, 直線x=e, x軸
(4)放物線y=x^2, y=√x
(5)放物線y^2=4x, 直線x=1

多くてすいません…
よろしくお願いします。
No.2687 - 2008/09/13(Sat) 21:37:43
☆ Re: 高2 / にょろ
x=0,2,3で±が変わります
そこに注意して積分
(2)交点を求めれば大丈夫です。
sinとcosの関係に気を付ければ交点はすぐ求まります。
(3)y=((2x)/(1+x^2))=(1+x^2)'/(1+x^2)
です。

とりあえずここまで
No.2688 - 2008/09/13(Sat) 22:30:00
☆ Re: 高2 / にょろ
(1)
y=(1/(x+1))=(x+1)'/(x+1)
(2)
面積はTHE 2
は公式として知ってて欲しいな〜
(3)y=logx, 直線x=eはy=1でまじわります。

(4),(5)
大きい方の回転体の体積-小さい方の回転体の体積です。
あとで少し補足するかもしれません。
No.2690 - 2008/09/13(Sat) 22:35:51
☆ Re: 高2 / にょろ

下の画像のように回転軸に対して線対称な図形を考えます。

対称軸はy=Rとします。
上のグラフは
R+f(x)
下のグラフは
R-f(x)
とできます。
ここで[a,b]の区間でのx軸中心の回転体の体積を考えます。
まずこの図形の面積をSとするとS=∫_[a,b](2f(x))dx

すると
π∫_[a,b]((R+f(x))^2-(R-f(x))^2)dx
=π∫_[a,b](4f(x)R)
=2π∫_[a,b](2f(x))dx*R
=2πSR

となります。
実は回転体の面積Vは
V=2πSR(Rは「重心」までの距離)
と表せます。
（高校範囲では上の範囲が限界だと思います）

これをパップスギュルダンの定理といいます。
上の問題のy=sinxがy軸中心回転なら使えたんですけどねぇ…
No.2692 - 2008/09/13(Sat) 22:59:12
☆ Re: 高2 / NnA
解説ありがとうございます。

でも、最初の問題の
(2)y=sinx, y=cos2x (0≦x≦π), x=0, x=π
の解き方がどうしてもわかりません。
よろしければ、詳しい解説をお願いします。
No.2694 - 2008/09/13(Sat) 23:47:10
☆ Re: 高2 / NnA
すいません。
(3)y=((2x)/(1+x^2)), y=x
(1)y=(1/(x+1)), x軸, y軸, 直線x=2
(3)y=logx, 直線x=e, x軸
(4)放物線y=x^2, y=√x
(5)放物線y^2=4x, 直線x=1
もわからないです。
詳しい解説をお願いします。
No.2695 - 2008/09/13(Sat) 23:53:43
☆ Re: 高2 / にょろ
まず(2)から
交点の座標は
sinx=cos2x=sin((π/2)-2x)
x=π/2-2x
x=π/6が交点です。
それまでは
cos2x-sinx
そこからπ/2までは
sinx-cos2x
の積分になります。
その後範囲がコレの二倍なので二倍してください。
No.2696 - 2008/09/14(Sun) 00:10:39
☆ Re: 高2 / にょろ
次図形はこんな感じ点は気にしないでください
というわけで求める面積は
∫_[0,1](1+x^2)'/(1+x^2)-xdx
=[log(1+x^2)-x^2/2]_[0,1]
=〜
です。
No.2697 - 2008/09/14(Sun) 00:33:11
☆ Re: 高2 / にょろ
画像入れ忘れましたorz
No.2698 - 2008/09/14(Sun) 00:39:15