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記事No.2709に関するスレッドです

円と半径 / Jez-z
半径1の円Cと半径1の円C(1)が外接しており、さらに、2つの円はともに直線lに接している。
n=2,3,4…に対してC(n+1)をC(n)とCの両方に外接し、かつ、
直線lにも接しているように作ることにする。
ただし、(C(n)の半径>C(n+1)の半径)である。
このときC(n)の半径を求めよ。

(方針)
C(n)の半径をr(n)とする。
実験してみたところ、C(2)は三平方の定理を用いて
r(2)=1/4と求めることができました。
しかし、r(3)を求めようとしたところ、三角形の横(l軸に平行)の長さだけが分からず敢え無く挫折。
そこで、発想を変えて漸化式を作り一般項r(n)を求めればうまくいくのではないかと考えました。
しかし、この方針でも自身の計算力・数学力がついてこれず行き詰ってしまいました。

ご指導お願いします。

No.2707 - 2008/09/14(Sun) 17:56:31

Re: 円と半径 / rtz
Cを(0,1)中心、C1を(2,1)中心、直線lをy=0としてしまいましょう。

そうするとC2については、
r2=1/4からC2の中心は(1,1/4)です。

続いてC3については、
√{(1+r3)2−(1−r3)2}+√{((1/4)+r3)2−((1/4)−r3)2}=1
⇔2(√r3)+(√r3)=1
⇔r3=1/9
よってC3の中心は(2/3,1/9)

これと同様に考えて、
Cnの中心は(2√rn,rn)であるから、
Cn+1について、
√{(1+rn+1)2−(1−rn+1)2}+√{(rn+rn+1)2−(rn−rn+1)2}=2√rn
⇔2(√rn+1)+2√(rnrn+1)=2√rn
⇔{(√rn+1)−1}{(√rn)+1}=−1
⇔(1−√rn+1)(1+√rn)=1
あとはn=1,2,3から√rnを推測してそれが正しいことを言えばよいでしょう。

今回のポイントは、
・Cnの中心座標をrnで表せるか
・rn、rn+1間の漸化式が作れるか
の2点です。

No.2709 - 2008/09/14(Sun) 19:52:55

Re: 円と半径 / ヨッシー
rtz の座標設定を使わせてもらうと、
y=−1 を考えると、円Cとx軸に接する円の中心は、
点(0,1) と 直線y=−1からの距離が等しいので、
放物線 y=x2/4 上にあります。
よって、中心の座標は(x、x2/4)と表すことが出来ます。

これを使って、隣り合うCn、Cn+1 の関係を
作ることが出来ます。

No.2710 - 2008/09/14(Sun) 20:03:53

Re: 円と半径 / Jez-z
ヨッシーさん、それって「焦点」の考え方ですか?
「焦点」って数?Vの範囲ですよね…(実際の試験では使ってもよいものなのでしょうか…)

となるとrtzさんの方針を参考にさせてもらうことになるのですが、
>>「√rnを推測してそれが正しいことを言えばよい」
数学的帰納法を使えばよいですよね。ちょっと自分でやってみます。

No.2715 - 2008/09/14(Sun) 22:11:58

Re: 円と半径 / ヨッシー
実際に使って良いかは、何の試験かによります。

漸化式を出してから解くまでは、同じような解き方になるでしょうから、
良いと思う方で解けばいいと思います。

No.2716 - 2008/09/14(Sun) 22:37:23

Re: 円と半径 / Jez-z
rtzさん、やっぱり「漸化式」をつくることが理解できていませんでした。少しヒントをくれませんか?

それと、実際の問題は円の位置関係として
緑色の円が1<x<2の位置にあり以下
紫色の円が外接…していくというような設定がなされていました(はじめに書いていなくてすいません)どうしても言葉では説明しづらかったので・・・

No.2720 - 2008/09/14(Sun) 23:57:44

Re: 円と半径 / rtz
えぇと、具体的にどの部分でしょうか。

漸化式の作成自体は添付図を参照してください。
Cnの中心が(2√rn,rn)になるのは、
添付図のCn+1のx座標を考えてもらえば分かりますが、
Cnのx座標も√{(1+rn)2−(1−rn)2}になり、
これを計算すれば2√rnになるためです。
y座標は半径と同じです。

右の方に円を作っていくというのは解答の作り方の問題で、
それはどっちでもいいので、
解答作成者は好きなように、解答を読む側は上手く処理してとしか言えません。

No.2721 - 2008/09/15(Mon) 01:07:41

Re: 円と半径 / Jez-z
rtzさんわかりました^^ありがとうございます。
No.2744 - 2008/09/16(Tue) 23:52:19