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記事No.27186に関するスレッドです
★ ！！ / あいぽん
お願いします😭
No.27186 - 2014/06/19(Thu) 22:39:56
☆ Re: ！！ / X
丸に数字は文字化けしますので改めて
abc=1 (A)
(a+1)(b+1)(c+1)=1 (B)
と置きます。
(1)
(B)より
abc+(ab+bc+ca)+(a+b+c)+1=1
これに(A)と
a+b+c=t (C)
を代入して
ab+bc+ca=-t-1 (D)
(A)(C)(D)から三次方程式の解と係数の関係により
求めるxの三次方程式は
x^3-tx^2-(t+1)x-1=0

(2)
(a-1)(b-1)(c-1)=-1 (P)
と改めて置きます。

(1)の結果から
x^3-tx^2-(t+1)x-1=(x-a)(x-b)(x-c) (E)
と因数分解できます。
(E)にx=1を代入すると
(1-a)(1-b)(1-c)=-2t-1
∴(a-1)(b-1)(c-1)=2t+1
これと(P)より
2t+1=-1
∴t=-1
よって(1)の結果からa,b,cはxの三次方程式
x^3+x^2-1=0 (Q)
の解となります。
ここで
f(x)=x^3+x^2-1
と置くと
f'(x)=3x^2+2x=x(3x+2)
∴f(x)は
極大値f(-2/3)=-8/27+4/9-1=-23/27
極小値f(0)=-1
を取りますのでy=f(x)のグラフはx軸と交点を
１箇所のみ持ち、しかもその交点で
y=f(x)のグラフはx軸を接線として持ちません。
よって(Q)は重解でない実数解を一つしか持たないので
命題は成立します。
No.27188 - 2014/06/19(Thu) 23:54:03
☆ Re: ！！ / あいぽん
ありがとうございます😭
No.27191 - 2014/06/20(Fri) 00:46:24