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記事No.2721に関するスレッドです
★ 円と半径 / Jez-z
半径1の円Cと半径1の円C(1)が外接しており、さらに、2つの円はともに直線lに接している。
n=2,3,4…に対してC(n+1)をC(n)とCの両方に外接し、かつ、
直線lにも接しているように作ることにする。
ただし、（Ｃ(n)の半径＞Ｃ(n+1)の半径）である。
このときC(n)の半径を求めよ。

（方針）
C(n)の半径をr(n)とする。
実験してみたところ、C(2)は三平方の定理を用いて
r(2)=1/4と求めることができました。
しかし、r(3)を求めようとしたところ、三角形の横（l軸に平行）の長さだけが分からず敢え無く挫折。
そこで、発想を変えて漸化式を作り一般項r(n）を求めればうまくいくのではないかと考えました。
しかし、この方針でも自身の計算力・数学力がついてこれず行き詰ってしまいました。

ご指導お願いします。
No.2707 - 2008/09/14(Sun) 17:56:31
☆ Re: 円と半径 / rtz
Cを(0,1)中心、C1を(2,1)中心、直線lをy＝0としてしまいましょう。

そうするとC2については、
r2＝1/4からC2の中心は(1,1/4)です。

続いてC3については、
√{(1＋r3)2−(1−r3)2}＋√{((1/4)＋r3)2−((1/4)−r3)2}＝1
⇔2(√r3)＋(√r3)＝1
⇔r3＝1/9
よってC3の中心は(2/3,1/9)

これと同様に考えて、
Cnの中心は(2√rn,rn)であるから、
Cn+1について、
√{(1＋rn+1)2−(1−rn+1)2}＋√{(rn＋rn+1)2−(rn−rn+1)2}＝2√rn
⇔2(√rn+1)＋2√(rnrn+1)＝2√rn
⇔{(√rn+1)−1}{(√rn)＋1}＝−1
⇔(1−√rn+1)(1＋√rn)＝1
あとはn＝1,2,3から√rnを推測してそれが正しいことを言えばよいでしょう。

今回のポイントは、
・Cnの中心座標をrnで表せるか
・rn、rn+1間の漸化式が作れるか
の2点です。
No.2709 - 2008/09/14(Sun) 19:52:55
☆ Re: 円と半径 / ヨッシー
rtz の座標設定を使わせてもらうと、
ｙ＝−１ を考えると、円Ｃとｘ軸に接する円の中心は、
点(0,1) と 直線ｙ＝−１からの距離が等しいので、
放物線　ｙ＝ｘ2／４ 上にあります。
よって、中心の座標は（ｘ、ｘ2／４）と表すことが出来ます。

これを使って、隣り合うＣn、Ｃn+1 の関係を
作ることが出来ます。
No.2710 - 2008/09/14(Sun) 20:03:53
☆ Re: 円と半径 / Jez-z
ヨッシーさん、それって「焦点」の考え方ですか？
「焦点」って数?Vの範囲ですよね…（実際の試験では使ってもよいものなのでしょうか…）

となるとrtzさんの方針を参考にさせてもらうことになるのですが、
>>「√rnを推測してそれが正しいことを言えばよい」
数学的帰納法を使えばよいですよね。ちょっと自分でやってみます。
No.2715 - 2008/09/14(Sun) 22:11:58
☆ Re: 円と半径 / ヨッシー
実際に使って良いかは、何の試験かによります。

漸化式を出してから解くまでは、同じような解き方になるでしょうから、
良いと思う方で解けばいいと思います。
No.2716 - 2008/09/14(Sun) 22:37:23
☆ Re: 円と半径 / Jez-z
rtzさん、やっぱり「漸化式」をつくることが理解できていませんでした。少しヒントをくれませんか？

それと、実際の問題は円の位置関係として
緑色の円が1＜ｘ＜2の位置にあり以下
紫色の円が外接…していくというような設定がなされていました（はじめに書いていなくてすいません）どうしても言葉では説明しづらかったので・・・
No.2720 - 2008/09/14(Sun) 23:57:44
☆ Re: 円と半径 / rtz
えぇと、具体的にどの部分でしょうか。

漸化式の作成自体は添付図を参照してください。
Cnの中心が(2√rn,rn)になるのは、
添付図のCn+1のx座標を考えてもらえば分かりますが、
Cnのx座標も√{(1＋rn)2−(1−rn)2}になり、
これを計算すれば2√rnになるためです。
y座標は半径と同じです。

右の方に円を作っていくというのは解答の作り方の問題で、
それはどっちでもいいので、
解答作成者は好きなように、解答を読む側は上手く処理してとしか言えません。
No.2721 - 2008/09/15(Mon) 01:07:41
☆ Re: 円と半径 / Jez-z
rtzさんわかりました＾＾ありがとうございます。
No.2744 - 2008/09/16(Tue) 23:52:19