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記事No.27339に関するスレッドです
★ 微分積分 / 文系の大学1年生
はじめまして、よろしくお願いします。

文系大学の一年生の微分積分の問題です。

問題2は自分なりにn=1,2,3をいれて計算して見たのですが、いまいち法則性がつかめず、定理に落とし込めません。

問題3,4は歯が立ちませんでした。

教えてくださるとありがたいです。
よろしくお願いします。
No.27339 - 2014/06/24(Tue) 00:02:33
☆ Re: 微分積分 / X
問題II
これは(1)が解ければ(2)はその結果を使うだけですので
(1)のヒントを。
一般にC^n級の関数f(x)、g(x)に関し
(d^n/dx^n)(f(x)g(x))=Σ[k=0〜n](nCk){(d^k/dx^k)f(x)}{(d^(n-k)/dx^(n-k))g(x)}
が成立します。
(解析学の参考書か教科書に書かれていると思います。調べてみて下さい。)

問題III
積の微分を使うと
f'(x)=2(x-3)e^x+{(x-3)^2}e^x
=(x-1)(x-3)e^x
f"(x)=2e^x+2(x-3)e^x+2(x-3)e^x+{(x-3)^2}e^x
=(x^2-2x-7)e^x
これらを元に極小点、極大点、変曲点の座標を求めます。
次に
lim[x→∞]f(x)
lim[x→-∞]f(x)
を計算します。
注)
高校数学の参考書で解析関数の微分の項目
(理系数学の範囲ですが)を参照した方が
いいかもしれません。
この問題は理系であれば高校数学の範囲でも
解ける問題です。
No.27340 - 2014/06/24(Tue) 01:40:52
☆ Re: 微分積分 / X
問題IV
x=cosxより
x-cosx=0 (A)
ここで
f(x)=x-cosx
と置くと
f'(x)=1+sinx (A)'
∴0＜x＜π/4においてf'(x)＞0ゆえ
f(x)は単調増加。
更に
f(π/6)=π/6-(√3)/2＜0
f(π/4)=π/4-1/√2＞0
ですので、中間値の定理により(A)は
π/6＜x＜π/4
の範囲に一つ解を持ちます。
そこで
点(π/4,π/4-1/√2),又は点(π/6,π/6-(√3)/2)
のいずれかを出発点として、方程式
f(x)=0
に関してニュートン法を適用します。
ここでは点(π/4,π/4-1/√2)を出発点にしてみます。
特に近似する桁数が指定されていないので
一段階だけ計算しておくことにします。
(A)'よりy=f(x)上の点(π/4,π/4-1/√2)における
接線の方程式は
y=(1+1/√2)(x-π/4)+π/4-1/√2
これとx軸との交点のx座標は
x=π/4-{(π/4)√2-1}/(1+√2) (B)
(B)がニュートン法によるもっとも荒い近似解になります。

精度を上げる場合は
(B)をx座標とする曲線y=f(x)上の点の接線と
x軸との交点のx座標を求め、
更にそれをx座標とする曲線y=f(x)上の点の接線と
x軸との交点のx座標を求め…
の繰り返しとなります。
No.27341 - 2014/06/24(Tue) 02:05:06
☆ Re: 微分積分 / ast
この問題 II(2) 中の「マクローリン展開」はどういう意味で用いられているのでしょうか. 通常は「x=0 のまわりでのテイラー展開」という意味だと思うのですが, x=0 は f(x) の定義域の外なので不自然に見えます.
No.27342 - 2014/06/24(Tue) 02:14:28
☆ Re: 微分積分 / X
もちろん定義域外の点ではマクローリン展開の基準点には
できません。
少なくとも
x＞1
となる点を基準点にして適用する必要があります。
(注)f(x)はx=1では微分不可能です。
例えばx=2を基準点にするのであれば
f(x)=f(2)+Σ[k=1〜∞]{(d^n/dx^n)f(x)|[x=2]}{(x-2)^n}/n!
となります。
No.27343 - 2014/06/24(Tue) 02:24:29
☆ Re: 微分積分 / ast
それをマクローリン展開と呼ぶというのは不自然だと思います (それは x=2 のまわりでのテイラー展開です) が.

質問者はこの問題を幾つかの掲示板にマルチポストされているようで, 出題の不備を指摘するレスも見掛けたのですが, タイプミスではないと答えた程度で話が宙ぶらりんのまま他へポストしたという状況のようです.
No.27344 - 2014/06/24(Tue) 02:44:46
☆ Re: 微分積分 / X
>>astさんへ
私はf(x)のマクローリン展開をテイラー展開を
f(x)上の任意の点に適用したものと認識
していたのですが、とんでもない勘違い
だったのですね。
ご指摘ありがとうございます。
No.27345 - 2014/06/24(Tue) 03:05:48
☆ Re: 微分積分 / 文系の大学1年生
みなさんの的確なご指導により、改めて自分の勉強不足を痛感いたしました。

今後は、質問をしなくても理解できるよう、学校での勉強に精進したいと思います。

ご教授のほどありがとうございました。
No.27371 - 2014/06/25(Wed) 01:16:59