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記事No.27348に関するスレッドです
★ 関数と数列 / ジェミニ
正の整数nに対して(1+√2)^n=x[n]+y[n]√2が成り立つように整数x[n],y[n]を定める
(1)x[n+1],y[n+1]をx[n],y[n]を用いて表せ
(2)x[n]^2-2y[n]^2を求めよ
(3)任意のに対してはよりものよい近似値であることを証明せよ
また、lim[n→∞]x[n]/y[n]を求めよ

解説のx[n+1]+y[n+1]√2=(1+√2)^(n+1)=

(1+√2)(x[n]+y[n]√2)=x[n]+2y[n]+(x[n]+y[n])√2

ここで、x[n]、y[n]、x[n+1]、y[n+1]は無理数だから

x[n+1]=x[n]+2y[n]　y[n+1]=x[n]+y[n]―――　?@

?@を用いれば、数学的帰納法により

(1-√2)^n=x[n]-y[n]√2とあるのですが?@からどうやってこの式が出たのですか
No.27335 - 2014/06/23(Mon) 21:48:02
☆ Re: 関数と数列 / IT
x[n+1]-y[n+1]√2に　?@を代入して計算してみてください
それと(1-√2)^n=x[n]-y[n]√2を使うと

x[n+1]-y[n+1]√2＝(1-√2)^(n+1)が示せると思います。


>ここで、x[n]、y[n]、x[n+1]、y[n+1]は無理数だから
は間違っているのでは？（転記ミス）
No.27336 - 2014/06/23(Mon) 22:00:59
☆ Re: 関数と数列 / ジェミニ
>は間違っているのでは？（転記ミス）
そうですね、正しくはx[n]、y[n]、x[n+1]、y[n+1]は有理数、
√2は無理数だからでした

x[n]、y[n]、x[n+1]、y[n+1]は有理数は何で分かるのですか？

x[n],y[n]が整数だから？nをn+1にしても整数なんですか？
No.27337 - 2014/06/23(Mon) 22:09:32
☆ Re: 関数と数列 / IT
>正の整数nに対して(1+√2)^n=x[n]+y[n]√2が成り立つように整数x[n],y[n]を定める
とありますから。
このｎは任意の正の整数ｎと読むべきです。
そうでないとx[n+1],y[n+1]には何の制約もないことになりますので問（１）は解けるはずがありません。
No.27338 - 2014/06/23(Mon) 22:16:40
☆ Re: 関数と数列 / ジェミニ
>x[n+1]-y[n+1]√2に　?@を代入して計算してみてください
?@を代入したましたが(1-√2)^n=x[n]-y[n]√2この式は出てきませんでした、代入して、式変形のところもよろしければお願いします
>このｎは任意の正の整数ｎと読むべきです
nは正の整数と分かりますがx[n+1],y[n+1]が有理数はどこから示せるのですか

画像の偶数奇数で分けてる式の一個下の式から

1-√2/y[n+1]・(x[n]-√2y[n])への変形が出来ませんでした、どうやって変形したかお願いします
No.27348 - 2014/06/24(Tue) 08:40:54
☆ Re: 関数と数列 / IT
> >x[n+1]-y[n+1]√2に　?@を代入して計算してみてください
> >このｎは任意の正の整数ｎと読むべきです
> nは正の整数と分かりますがx[n+1],y[n+1]が有理数はどこから示せるのですか

「正の整数nに対して(1+√2)^n=x[n]+y[n]√2が成り立つように整数x[n],y[n]を定める」の意味を理解されないと前に進めません。nは特定の正の整数ではありません。
具体的に書くと
(1+√2)^1=x[1]+y[1]√2、　x[1]とy[1]は整数
(1+√2)^2=x[2]+y[2]√2、　x[2]とy[2]は整数
(1+√2)^3=x[3]+y[3]√3、　x[3]とy[3]は整数
・・・・
※任意の正整数kについて
(1+√2)^k=x[k]+y[k]√2、　x[k]とy[k]は整数
・・・・です。

> ?@を代入したましたが(1-√2)^n=x[n]-y[n]√2この式は出てきませんでした、代入して、式変形のところもよろしければお願いします。
数学的帰納法で証明するのですから
(1-√2)^n=x[n]-y[n]√2を仮定し、(1-√2)^(n+1)=x[n+1]-y[n+1]√2　を示すということです。
27336に従って、御自分でできたところまで途中式を書き込んで下さい。

> 画像の偶数奇数で分けてる式の一個下の式から
> 1-√2/y[n+1]・(x[n]-√2y[n])への変形が出来ませんでした、どうやって変形したかお願いします。
逆に計算して見ると分かるかも知れません。
ただ、問題を正しく理解し、(1)が出来から次を考えられた方がいいと思います。
No.27358 - 2014/06/24(Tue) 18:50:39
☆ Re: 関数と数列 / ジェミニ
>数学的帰納法で証明するのですから
>(1-√2)^n=x[n]-y[n]√2を仮定し、(1-√2)^(n+1)=x[n+1]-y
>[n+1]√2　を示すということです。
なるほど、?@を代入して出すのではなく数学的帰納法でこれから出すんですね、試しにやってみますね、(i)n=1の時
左辺=1-√2 右辺x[1]-y[1]√2=1-√2

よって左辺=右辺より成立　(ii)n=kの時成立すると仮定する

と(1-√2)^k=x[k]-y[k]√2

(1-√2)^k(1-√2)=(x[k]-y[k]√2)(1-√2)

=x[k]+2y[k]-√2(x[k]+y[k])

=x[k+1]+y[k+1]

よってn=k+1でも成立する

取り敢えず示せたと思うので、1-√2/y[n+1]・(x[n]-√2y[n])への変形の件をよろしくお願いします
No.27363 - 2014/06/24(Tue) 22:40:16
☆ Re: 関数と数列 / IT
> なるほど、?@を代入して出すのではなく数学的帰納法でこれから出すんですね、試しにやってみますね、(i)n=1の時
> 左辺=1-√2 右辺x[1]-y[1]√2=1-√2
> (1-√2)^k(1-√2)=(x[k]-y[k]√2)(1-√2)
>
> =x[k]+2y[k]-√2(x[k]+y[k])
>
> =x[k+1]+y[k+1]
> 取り敢えず示せたと思うので
最後の式は間違っています（入力ミス）
それと「?@より」などと説明する必要があります。

>1-√2/y[n+1]・(x[n]-√2y[n])への変形の件
カッコをつけて紛れのない式にしてください。
分子だけ考えます。
x[n],y[n]について整理します。
No.27365 - 2014/06/24(Tue) 23:01:16
☆ Re: 関数と数列 / ジェミニ
>最後の式は間違っています（入力ミス）
>それと「?@より」などと説明する必要があります
?@よりx[k]+2y[k]-√2(x[k]+y[k])=

x[k+1]-√2y[k+1]よりn=k+1でも成立する

>カッコをつけて紛れのない式にしてください。
>分子だけ考えます。

{(1-√2)/y[n+1]}・(x[n]-√2y[n])への変形です
No.27367 - 2014/06/24(Tue) 23:28:01
☆ Re: 関数と数列 / IT
{(1-√2)/y[n+1]}・(x[n]-√2y[n])への変形前の式を
x[n],y[n]について整理して書き込んでください。
No.27368 - 2014/06/24(Tue) 23:32:41
☆ Re: 関数と数列 / ジェミニ
その前の式は{x[n]+2y[n]-√2(x[n]+y[n])}/y[n+1]

=(1-√2)x[n]-(1-√2)√2y[n]

={(1-√2)(x[n]-√2y[n])}/y[n+1]

これであってますよね？
No.27375 - 2014/06/25(Wed) 10:31:25
☆ Re: 関数と数列 / IT
いいと思います。
No.27388 - 2014/06/25(Wed) 18:17:49