[
掲示板に戻る
]
記事No.27352に関するスレッドです
★
(No Subject)
/ tt
引用
y=ax^3+bx^2+cx+dにおいて、-1<x<1で-1<y<1
となるようなabcdの条件って求められますか？
No.27352 - 2014/06/24(Tue) 14:03:56
☆
Re:
/ らすかる
引用
a≠0のとき
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
f'(x)=3ax^2+2bx+c
f'(x)の判別式D/4=b^2-3ac≦0のとき極値が存在しないので
-1≦f(-1)≦1かつ-1≦f(1)≦1であればよい。
b^2-3ac＞0のときx={-b±√(b^2-3ac)}/(3a)で極値をとる。
{-b-√(b^2-3ac)}/(3a)≧1または
{-b+√(b^2-3ac)}/(3a)≦-1または
「{-b-√(b^2-3ac)}/(3a)≦-1かつ{-b+√(b^2-3ac)}/(3a)≧1」
の場合は-1＜x＜1の範囲で極値をとらないので上と同じ。
-1＜{-b-√(b^2-3ac)}/(3a)＜1≦{-b+√(b^2-3ac)}/(3a)の場合は
f({-b-√(b^2-3ac)}/(3a))で極値をとるので
-1≦f(-1)≦1かつ-1≦f(1)≦1かつ-1＜f({-b-√(b^2-3ac)}/(3a))＜1
であればよい。
{-b-√(b^2-3ac)}/(3a)≦-1＜{-b+√(b^2-3ac)}/(3a)＜1の場合は
f({-b+√(b^2-3ac)}/(3a))で極値をとるので
-1≦f(-1)≦1かつ-1≦f(1)≦1かつ-1＜f({-b+√(b^2-3ac)}/(3a))＜1
であればよい。
-1＜{-b-√(b^2-3ac)}/(3a)＜{-b+√(b^2-3ac)}/(3a)＜1の場合は
f({-b-√(b^2-3ac)}/(3a))とf({-b+√(b^2-3ac)}/(3a))で極値をとるので
-1≦f(-1)≦1かつ-1≦f(1)≦1かつ
-1＜f({-b-√(b^2-3ac)}/(3a))＜1かつ-1＜f({-b+√(b^2-3ac)}/(3a))＜1
であればよい。
a=0,b≠0のとき
f(x)=bx^2+cx+d=b{x+c/(2b)}^2+d-c^2/(4b)なので
-c/(2b)≦-1または1≦-c/(2b)のとき
-1≦f(-1)≦1かつ-1≦f(1)≦1であればよく、
-1＜-c/(2b)＜1のとき
-1≦f(-1)≦1かつ-1≦f(1)≦1かつ-1＜f(-c/(2b))＜1
であればよい。
a=b=0のとき
-1≦f(-1)≦1かつ-1≦f(1)≦1であればよい。
よって条件をまとめると
「-1≦f(-1)≦1」かつ「-1≦f(1)≦1」かつ
「「a≠0かつ
「b^2-3ac≦0または
「b^2-3ac＞0かつ
「{-b-√(b^2-3ac)}/(3a)≦-1または{-b-√(b^2-3ac)}/(3a)≧1または
-1＜f({-b-√(b^2-3ac)}/(3a))＜1」かつ
「{-b+√(b^2-3ac)}/(3a)≦-1または{-b+√(b^2-3ac)}/(3a)≧1または
-1＜f({-b+√(b^2-3ac)}/(3a))＜1」」」」または
「a=0かつb≠0かつ
「-c/(2b)≦-1または1≦-c/(2b)または-1＜f(-c/(2b))＜1」」または
「a=0かつb=0」」
となります。
# もっと簡単にまとめられるのかどうかはわかりません。
No.27354 - 2014/06/24(Tue) 16:47:47
