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記事No.27468に関するスレッドです
★ ベクトル / うぃーあー
一辺の長さが１の正四面体OABCにおいて、辺OAの
中点をP、辺ABを2:1に内分する点をQとし、辺OC上
に∠QPR=90°となるような点Rをとる。また、平面
PQRと辺BCの交点をSとする。このとき
(1)OR:RCを求めよ。
(2)BS:SCを求めよ。
(3)四角形PQSRの面積を求めよ。
あってるかは分かりませんが、
(1)は↑OR=1/3↑OCがでてOR:RC=1:2がでました。
(2)は↑OS=4/7↑OB+3/7↑OCでBS:SC=3:4がでまし
た。
(3)の解き方が分かりません。どうすればよいので
しょうか??
No.27459 - 2014/06/28(Sat) 22:03:35
☆ Re: ベクトル / X
四角形PQSRを△PQRと△QRSに分割してそれぞれの面積を
計算し、和を取ります。

まず△PQRについて。
条件から
↑PQ=↑OQ-↑OP=(↑OA+2↑OB)/3-(1/2)↑OA
=-(1/6)↑OA+(2/3)↑OB (A)
∴↑OA・↑OB=cos60°=1/2
などに注意すると
PQ^2=|-(1/6)↑OA+(2/3)↑OB|^2
=… (展開しましょう)
∴PQ=…
又、(1)の結果により
↑PR=↑OR-↑OP=(1/3)↑OC-(1/2)↑OA (B)
∴↑OA・↑OC=cos60°=1/2
などに注意すると
PR^2=|(1/3)↑OC-(1/2)↑OA|^2
=… (展開しましょう)
∴PR=…
よって△PQRの面積は
(1/2)PQ・PR=…

次に△QRSについて。
(A)(B)と同様に↑SQ,↑SRを↑OA,↑OB,↑OCを用いて表すと
↑SQ=… (C)
↑SR=… (D)
(C)(D)により
SQ^2=|↑SQ|^2=…
SR^2=|↑SR|^2=…
(↑OA・↑OB=↑OB・↑OC=↑OC・↑OA=cos60°=1/2
に注意)
∴
SQ=… (C)'
QR=… (D)'
(C)(D)(C)'(D)'により
cos∠QSR=(↑SQ・↑SR)/(SQ・SR)=…
となるので
sin∠QSR=√{1-(cos∠QSR)^2}=… (E)
(C)'(D)'(E)により△QRSの面積は
(1/2)SQ・SRain∠QSR=…
No.27465 - 2014/06/28(Sat) 23:56:08
☆ Re: ベクトル / angel
ベクトルの良い所は、図形的なことをあまり考えなくても、機械的に計算を進めることで答えが出せる所。

三角形の面積にしても、内積の計算により出すことができますから、四角形を2個の三角形に分割すれば、それぞれで計算できます。
ちなみに、△OXY ( ベクトルx=↑OX, ベクトルy=↑OY ) の面積 S は、
　S = 1/2・√ ( (x・x)(y・y)-(x・y)^2 )
ですね。

これは、内積 x・y=|x|・|y|・cosθ と、三角形の面積 S=1/2・|x|・|y|・sinθ と、三角比の性質 (sinθ)^2+(cosθ)^2=1 から以下のように分かることです。

　x・y=|x|・|y|・cosθ
　(x・y)^2 = |x|^2・|y|^2・(cosθ)^2
　(x・y)^2 = |x|^2・|y|^2・( 1-(sinθ)^2 )
　(x・y)^2 = |x|^2・|y|^2 - ( |x|・|y|・sinθ )^2

　|x|・|y|・sinθ = √( |x|^2・|y|^2 - (x・y)^2 )
　S = 1/2・√( (x・x)(y・y)-(x・y)^2 )

なお、(2)の答えは BS:SC=3:4 ではなく 1:4 が正しいかと。
No.27466 - 2014/06/29(Sun) 00:25:48
☆ 図形的な解き方 / angel
たとえベクトルの問題であっても、別に幾何として解いてはいけないということはないので、図形を考える方がやりやすいなら、選択肢としては考えておきましょう。
…さすがに(1)はベクトルの内積計算でやった方が楽だと思いますが。

(2)については、添付の図のように、PR,ACの交点であるXを導入すると分かり易くなります。なぜなら、QS,ACの交点も同じXになるからです。
※平面OAC上にあるPRと、平面ABC上にあるQSの交点は、両平面の交線であるAC上に来る、つまりACとの交点でもあるという理屈。

そうすると、形としては、メネラウスの定理を使って、色々と比を調べることができます。
例えば、C→R→O→P→A→X→C と一周するようなパターン、
　CR/RO・OP/PA・AX/XC = 1
を計算すれば、AX/XC = 1/2 から、XA=AC であることが分かります。その先に(2)の答えがある、と。

さらに色々比が分かれば、添付の図の右側のように、△XSR内部の面積比に着目して(3)が解けます。
XP:PR=3:1, XQ:QS=5:1 は調べてあるものとして。面積比は○付数字の通りですから、結局面積として △QRS=4/5・△PQR
後は、∠QPRが直角であることから、PQ,PRの長さを出せば終わりです。
※PQ,PRについては、正四面体の各面における、60°の絡んだ余弦定理から求めればよいでしょう。
No.27468 - 2014/06/29(Sun) 01:02:33