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記事No.27586に関するスレッドです
★ (No Subject) / ピョコタ
この問題の解き方を教えてください。よろしくお願いします。
No.27586 - 2014/07/02(Wed) 13:06:38
☆ Re: / X
(1/2)(log[a]x+log[a]y)=log[a]{√(xy)} (A)
一方、相加平均と相乗平均の関係から
(x+y)/2≧√(xy) (B)
(A)(B)から
0＜a＜1のとき
log[a]{(x+y)/2}≦(1/2)(log[a]x+log[a]y)
1＜aのとき
log[a]{(x+y)/2}≧(1/2)(log[a]x+log[a]y)
(対数の底と不等号の向きとの対応に注意しましょう)

(2)
log[a](x+y)=log[a]x+log[a]y (A)
から真数条件により
x＞0,y＞0 (B)
一方(A)より
x+y=xy (C)
∴1/x+1/y=1 (C)'
(A)(C)'より
1/y=1-1/x＞0
∴0＜1/x＜1
同様に
0＜1/y＜1

(3)
k=2x+yより
y=-2x+k (D)
一方(C)より
y=1+1/(x-1) (1＜x) (E)
よって求めるkの値の範囲は(D)(E)が交点を持つような
kの値の範囲となります。
そこで(D)(E)のグラフを描いてみると、
(D)(E)が接するときのkの値をKとしたとき、
求めるKの値の範囲は
k≧K
となることが分かります。
ということで(D)(E)のグラフが接するときのkの値を
求めましょう。
((D)(E)からyを消去してできるxの二次方程式において
解の判別式に対する条件を使います。)

(4)
(C)より
(x-1)(y-1)=1
(2)の結果より
x＞1,y＞1
に注意すると
(x-1,y-1)=(1,1)
∴(x,y)=(2,2)
No.27588 - 2014/07/02(Wed) 14:11:45