[
掲示板に戻る
]
記事No.27712に関するスレッドです
★
(No Subject)
/ かねき
引用
画像の問題を教えてください。
No.27712 - 2014/07/15(Tue) 14:05:37
☆
Re:
/ みずき
引用
(1)
f(x)=x+1/x^2とおくと、f'(x)=1-2/x^3=(x^3-2)/x^3なので、
x＞0において増減表を描くと、f(x)≧f(2^(1/3))=(3/2)*2^(1/3)
よって、示されました。等号成立は、x=2^(1/3)のときのみ。
(2)(?@)
漸化式により、任意のnに対して、a[n]＞0
よって、(1)より、a[n+1]≧2^(1/3)
任意のnに対して、a[n]は有理数なので、
a[n+1]=2^(1/3)となるようなnは存在しません。
よって、n≧1で、a[n+1]＞2^(1/3)
一方、
a[n]-a[n+1]
=a[n]-(2/3)(a[n]+1/(a[n])^2)
={(a[n])^3-2}/{3(a[n])^2}
＞{(2^(1/3))^3-2}/{3(a[n])^2} （∵ a[1]=2＞2^(1/3)とより、n≧1でa[n]＞2^(1/3)）
=0
∴ a[n]＞a[n+1]
(?A)
a[n+1]-2/(a[n])^2
=(2/3)(a[n]+1/(a[n])^2)-2/(a[n])^2
=(2/3)(a[n]-2/(a[n])^2)
＜(2/3)(a[n]-2/(a[n-1])^2) （∵ a[n-1]＞a[n]）
∴ a[n+1]-2/(a[n])^2＜(2/3)(a[n]-2/(a[n-1])^2)
(?B)
a[n+1]-2/(a[n])^2
=(2/3)*{((a[n])^3-2)/(a[n])^2}
＞0 （∵ a[n]＞2^(1/3)）
∴ a[n+1]-2/(a[n])^2＞0
一方、(?A)により、
a[n+1]-2/(a[n])^2
≦(2/3)(a[n]-2/(a[n-1])^2)
≦(2/3)^2(a[n-1]-2/(a[n-2])^2)
・・・
≦(2/3)^(n-1)(a[2]-2/(a[1])^2)
=(2/3)^(n-1)(3/2-2/(2)^2)
=(2/3)^(n-1)
∴ a[n+1]-2/(a[n])^2≦(2/3)^(n-1)
No.27716 - 2014/07/15(Tue) 19:40:28
