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記事No.27878に関するスレッドです
★ (No Subject) / なは
よろしくお願いします。
No.27878 - 2014/07/29(Tue) 00:59:00
☆ Re: / X
Σ[i=1〜n]a[i]=S[n]
Σ[i=1〜n]b[i]=T[n]
Σ[i=1〜n]a[i]b[i]=U[n]
と置くと証明すべき不等式は
S[n]T[n]≦nU[n] (A)
(A)が
a[1]≧a[2]≧…≧a[n],b[1]≧b[2]≧…≧b[n]
の元で成立するという命題((P)とします。)
を数学的帰納法で証明します。
(i)n=1のとき
(P)の成立は明らか。
(ii)n=kのとき、(P)の成立を仮定します。つまり
a[1]≧a[2]≧…≧a[k],b[1]≧b[2]≧…≧b[k]
のとき
S[k]T[k]≦kU[k] (A)'
さて
a[1]≧a[2]≧…≧a[k]≧a[k+1],b[1]≧b[2]≧…≧b[k]≧b[k+1] (B)
なるa[k+1],b[k+1]を考えるとき
(k+1)U[k]+(k+1)a[k+1]b[k+1]-(S[k]+a[k+1])(T[k]+b[k+1])
=kU[k]-S[k]T[k]+{U[k]-a[k+1]T[k]-b[k+1]S[k]+ka[k+1]b[k+1]} (C)
ここで{}内のS[k],T[k],U[k]を元に戻すと
U[k]-a[k+1]T[k]-b[k+1]S[k]+ka[k+1]b[k+1]
=Σ[i=1〜k]{a[i]b[i]-a[k+1]b[i]-b[k+1]a[i]+a[k+1]b[k+1]}
=Σ[i=1〜k](a[i]-a[k+1])(b[i]-b[k+1]) (D)
(A)'(B)(C)(D)により
(k+1)U[k]+(k+1)a[k+1]b[k+1]-(S[k]+a[k+1])(T[k]+b[k+1])≧0
ですのでn=k+1のときも(P)は成立。

よって命題(P)は成立します。
No.27888 - 2014/07/29(Tue) 10:49:55
☆ Re: / なは
ありがとうございました
No.27924 - 2014/07/30(Wed) 00:48:39