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記事No.27880に関するスレッドです
★ (No Subject) / わかな
こちらの問題を教えてください。
No.27880 - 2014/07/29(Tue) 08:51:32
☆ Re: / X
問題の等式を(A)とします。
(A)より
∫[0→x]f(t)dt+(x^2)∫[0→1]f'(t)dt+2x∫[0→1]tf'(t)dt+∫[0→1](t^2)f'(t)dt
=x^2+C
両辺をxで微分すると
f(x)+2x∫[0→1]f'(t)dt+2∫[0→1]tf'(t)dt=2x
∴f(x)=2x{1-∫[0→1]f'(t)dt}-2∫[0→1]tf'(t)dt (B)
よって
f(x)=ax+b (C)
と置く事ができます。
(C)を(B)に代入し整理すると
ax+b=2(1-a)x-a
これはxの恒等式ですので両辺の係数を比較して
a=2(1-a) (D)
b=-a (E)
(D)(E)をa,bについての連立方程式と見て解き
(a,b)=(2/3,-2/3)
よって
f(x)=(2/3)x-2/3 (F)
更に(A)においてx=0のとき
∫[0→1](t^2)f(t)dt=C
これに(F)を代入して
C=(2/3)∫[0→1](t^3-t)dt=-1/6
No.27883 - 2014/07/29(Tue) 09:38:25